Encontrar todos los números de tal manera que "el Producto de todos los divisores=cubo de número".

Question

Mientras que la solución de algunos de los viejos problemas de la olimpiada de que me encontré con este. Como I m atascado en ella, así que estoy aquí.

El problema es: Encontrar todos los enteros positivos $N$ tales que el producto de todos los divisores positivos de N es igual a $N^3$.

Ya que yo no era capaz de resolver este matemáticamente por lo tanto traté de Golpear y método de prueba para encontrar el patrón y, a continuación, trabajar sobre él. Tengo que:

12 divisores 1,2,3,4,6,12 producto de todo lo cual dará 1728($12^3$).Del mismo modo 18,20,28 también seguir el mismo caso. Me di cuenta de que todos ellos tienen 4 factores, pero creo que no se puede tomar de mí (yo también creo que un poder perfecto(como $2^3$)no seguir el caso).

Después de todos mis esfuerzos I m a U chicos. Necesita ayuda. Cualquier formulación Matemática o sugerencia es cordialmente la bienvenida. Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\displaystyle\left(\prod_{d \mediados n} d\right)^2 =\prod_{d \mediados n} d \prod_{d \mediados n} \frac{n}{d} =n^{\tau(n)} $.

Por lo tanto, buscamos $n$ tal que $n^{\tau(n)}=n^6$, $n=1$ o $\tau(n)=6$.

Escribir $n=\prod_p p^{e_p}$. A continuación,$\tau(n)=\prod_p (1+e_p)$. No hay muchas posibilidades si esto es ser $6$ porque cada posibilidad corresponde a una factorización de $6$:

• $6=6$ da $n=p^5$.

• $6=2\cdot 3$ da $n=pq^2$.

Answer 2

Deje $P(n)=\prod_{d\mid n}d$ el producto de todos los divisores positivos de $n$. denotar por $\tau(n)$ el número de divisores de a $n$. Entonces $$ P(n)=\sqrt{n^{\tau(n)}}. $$ Por ejemplo, con $n=12$ tenemos $\tau(12)=6$$P(n)=\sqrt{12^6}=12^3$. Así que tenemos que resolver $$ P(n)=\sqrt{n^{\tau(n)}}=n^3. $$ Esto significa $n^{\tau(n)}=n^6$, o sólo $\tau(n)=6$.

Answer 3

Si $$ n=\prod_ip_i^{e_i} $$ y $$ E=\prod_i(e_i+1) $$ a continuación, el número de factores de $p_i$ en el producto es $\frac{e_i^2+e_i}2\prod\limits_{j\ne i}(e_j+1)=\frac{e_i^2+e_i}2\frac{E}{e_i+1}=Ee_i/2$.

Por lo tanto, el producto de todos los divisores es $$ \prod_ip_i^{Ee_i/2} $$ Así que necesitamos a $E=6$ o todos los $e_i=0$.

Por lo tanto, el número es $1$, una de las principales a la quinta potencia, o el producto de dos primos, uno a la primera potencia y el otro a la segunda potencia.

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Ejemplos

$2^5=32$: $1\cdot2\cdot4\cdot8\cdot16\cdot32=32768=32^3$

$2^2\cdot3=12$: $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot6\cdot12=1728=12^3$

Answer 4

Sugerencia: El camino a seguir es el primer factorización. Usted necesita sólo considerar el caso de hasta cuatro distintos factores primos (el resto debe seguir fácilmente a partir de su discusión). Si te das cuenta, todos tus encontrado ejemplos siguen el patrón de los $pq^2$ donde $p,q$ son números primos.

Answer 5

Si p es primo

$N= p^5$ - todos los divisores del producto es $p \ p^2 p^3 p^4 p^5 = p^{15} = N^3$