Qué $f\colon x\mapsto 2x+3$ significa lo mismo que $f(x)=2x+3$?

Question

En mi libro hay una pregunta como la siguiente:

Si $$f:x \mapsto 2x-3,$$ then $$f^{-1}(7) = $$

Como una pregunta de opción múltiple, que permite para las respuestas:

A. $11$
B. $5$
C. $\frac{1}{11}$
D. $9$

Si lo que creo que es correcta y he leído la ecuación como:

$$f(x)=2x-3$$ a continuación,
$$y=2x-3$$ $$x=2y-3$$ $$x+3=2y$$ $$\frac {x+3} {2} = y$$

por lo tanto:

$$f^{-1}(7)=\frac {7+3}{2}$$ $$=5$$

Answer 1

Este es sólo explicar por qué alguien haría uso de la notación $$f: x \mapsto 2x-3$$ When we treat a function $f$ as an object, i.e. do more with it than just evaluate it at points, then we need to be able to distinguish between the object, the function $f$, and its rule of assignment determining its values at points $x$, i.e. after evaluating at points $x$.

Desde $f(x)$ denota tanto la función de $f$, como un objeto en su propio derecho, así como el valor de la función evaluada en un punto de $x$, es demasiado ambiguo para tales fines, porque no nos permiten distinguir entre la función y su regla de asignación.

A menudo, podemos identificar la función de $f$, como un objeto en su propio derecho, con su regla de asignación de tomar $x$$f(x)$, ya que estamos en tales casos, sólo teniendo en cuenta el último, así que no hay ambigüedad surge.

Sin embargo, la notación $$f:x\mapsto 2x-3$$ is nice because it both presents the function $f$ as a distinct object while also specifying its rule of assignment. The colon : is meant to be read "such that", which implies that the expression $f:x\mapsto 2x-3$ reads "the function $f$ such that $x$ is mapped to $2x-3$".

La ventaja de esta notación es que nos permite distinguir entre la función de $f$ y su regla de asignación cuando necesitamos distinguir entre los dos, teniendo exactamente el tiempo para escribir como $f(x)=2x-3$, cuando no necesitamos distinguir entre la función y su regla de asignación, y por lo tanto la economía de la notación, se convierte en una prioridad.

Por lo tanto, la notación $f:x\mapsto2x-3$ es tanto exactamente tan eficiente como el clásico notación $f(x)=2x-3$ y menos ambiguo.

Answer 2

Respondiendo a su (principal) pregunta: Sí, su interpretación de $f:x\rightarrow 2x-3$ siendo la misma de $f(x)=2x-3$ es correcta.

Para los cálculos: $\frac{7+3}{2}\neq10$.

Answer 3

(nota: esta respuesta fue formulada en respuesta a la versión original de la pregunta, que desde entonces ha sido editado por terceros)

Eres el análisis de la expresión del mal; no se

$$ \color{red}{\mathbf{ f : x }} \mapsto 2x-3 $$

en su lugar, es

$$ f : \color{red}{\mathbf{ x \mapsto 2x-3 }}$$

Es decir, $x \mapsto 2x-3$ es de un particular, notación para "la función que, para todos los $x$, envía el valor de $x$ para el valor de $2x-3$". El colon notación es una particular forma de colocar un nombre a la asignación; para decir "$f$ es la función que, para todos los $x$, ...". Usted podría leer como "$f$ envía $x$$2x-3$".

El colon notación se usa con más frecuencia cuando se incluye un tercer término que expresan el dominio y el codominio. por ejemplo, si estamos hablando de un valor real de la función de los reales, le escribió

$$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} : x \mapsto 2x-3 $$

Aquí:

• $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ indica el tipo de objeto matemático que llamamos "valor real de las funciones de los reales"
• $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dice que $f$ es una variable de ese tipo, es decir, que $f$ denota un valor real de la función de los reales.
• Toda la expresión, además, indica que la función $f$ concretamente.

Answer 4

Tu error está aquí: $$ x-3=2y $$ Debe ser $$ x+3=2y $$

Answer 5

Interpretar $$f:\quad x\mapsto y:=2x-3$$ como un diagrama de flujo: La operación $f$ toma un valor de la variable $x$ como entrada y produce un valor de la variable $y$ como de salida, en el cual la fórmula exacta para calcular $y$ $x$ es dado.

Escribo aquí porque en su argumento de reemplazar sin dudarlo $y=2x-3$$x=2y-3$. Este parece ser un procedimiento recomendado, pero es un error terrible, porque ahora tanto $x$ $y$ tiene dos significados diferentes en la misma cadena de razonamiento. Mantener los nombres de las variables como el tiempo que usted está buscando en $f$ $f^{-1}$ simultáneamente.

Argumentan de la siguiente manera en su lugar: La función inversa $f^{-1}$ debe producir la información necesaria valor de $x$ para un dado valor de salida $y$$f$. Por lo tanto, tenemos que resolver la ecuación de $y=2x-3$ $x$ "como una función de la $y$". El resultado por supuesto es $x={1\over2}(y+3)$, por lo que el diagrama de flujo para $f^{-1}$ se ve como sigue: $$f^{-1}:\quad y\mapsto x:={1\over2}(y+3)\ .$$ En particular,$f^{-1}(7)=5$.