¿Es el área de un círculo siempre irracional?

Question

He aprendido que $\pi$ es una cantidad irracional y el producto de un número irracional por un número racional es siempre irracional. ¿Implica esto que el área de un círculo de radio $r$ que es $\pi$ .r $^2$ es siempre una cantidad irracional? ¿Significa esto que nunca podré calcular el área "exacta" de un círculo, sino siempre una aproximación que siempre tiene algún "espacio" para más precisión?

Answer 1

Sólo porque $A=\pi r^2$ tiene un $\pi$ que es irracional, no significa que $A$ tiene que ser irracional. Esto se debe a que $r^2$ podría ser irracional. Por ejemplo, tomemos $a,b \in \mathbb{Z}$ para ser cualquier número entero positivo con $b \neq 0$ . Podemos formar la fracción $a/b$ . Entonces, tomando $r=\sqrt{\dfrac{a}{b\pi}}$ tenemos $$A=\pi r^2=\pi \sqrt{\dfrac{a}{b \pi}}^2=\dfrac{a\pi}{b\pi}=\dfrac{a}{b}$$ lo cual es ciertamente racional.

Esencialmente, esto resulta del hecho de que el producto de dos números irracionales no necesita ser irracional. Tomamos el número irracional $\pi$ y multiplicar por el número irracional $r^2$ y obtener un racional. Otro ejemplo sería $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=2$ . Sin embargo, es cierto que si $r \neq 0$ eran racionales entonces $r^2$ sería racional y entonces el área $A$ sería irracional.

Answer 2

No, el cuadrado de un número irracional puede ser irracional, pero el producto de dos números irracionales puede ser racional.

Como dijo @dxiv, considere $r=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$ .
$\pi r^2 = 1$ en este caso.

$1$ es ciertamente racional.

Answer 3

Hay dos preguntas aquí:

Primero:

¿El área de un círculo es siempre irracional?

Respuesta: No.

Haga $r= \frac{1}{ \sqrt{ \pi}}$ como en la respuesta de E. Nusinovich o más generalmente en la respuesta de mathematics2x2life.

Segundo:

¿Significa esto que nunca podré calcular el área "exacta" de un círculo, sino siempre una aproximación que siempre tiene algún "espacio" para más precisión?

Respuesta: No.

No hay que confundir irracional con inexacto . $ \pi$ es un irracional y precisa número.

Si $r=1$ , $A= \pi$ (o utilizando $r=7$ , $A=49 \pi$ de los comentarios anteriores) este cálculo es precisa . $ \pi$ es la representación simbólica de toda la cadena de esa secuencia infinita de números. Es tan preciso como el símbolo $ \infty$ es (añadir a la lista $i$ y $e$ ).

Así que, si uno pudiera construir técnicamente un círculo con radio de $1 \mathrm m$ entonces su área sería precisamente $ \pi \mathrm m^2$ . Ahora usted puede discutir sobre cómo uno podría construir técnicamente un círculo con un radio exacto de $1 \mathrm m$ . Pero este es un problema totalmente diferente.

Si preguntas a cualquier experimentalista entrenado te dirá que cualquier medición contiene un error asociado, pero eso no hace que nuestro cálculo sea inexacto, ya que por este mismo argumento, ni siquiera el área de un cuadrado sería posible de medir precisamente ya que no se puede precisamente medir el lado (longitud) de un cuadrado con absoluta precisión.

Answer 4

De forma más general, hay que tener en cuenta que la función

$$f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}_{+}$$

dado por $f(r) = \pi r^2$ es un mapa biyectivo. En consecuencia, no sólo el área de un círculo puede ser racional, sino que existe un número único $r_c$ tal que para cualquier número positivo $c$ existe un círculo de radio $r_c$ y el área $c$ .

Answer 5

Este es un punto ciego que mucha gente tiene. Cuando se les pregunta si hay alguna solución para

$$ A = \pi r^2$$

donde $A$ es racional, piensan "qué puedo elegir para $r$ ?"

Pero esa es exactamente la forma equivocada de abordar este problema. El verdadero truco es pensar "qué puedo elegir para $A$ ?" Una vez que te decidas a elegir, di, $A=1$ es una cuestión trivial encontrar el correspondiente $r$ .