funciones puede representarse como una suma de dos permutaciones

Question

Estoy tratando de demostrar que para cada función $f:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$satisfacción $\sum_if(i)=0$, hay permutaciones $\pi_1, \pi_2:\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tal que $f=\pi_1+\pi_2$. Esto es supuestamente cierto, pero no veo por qué.

Answer 1

$\pi_2$ es una permutación iff $-\pi_2$ es una permutación. Por lo tanto, el problema es equivalente a probar que cada una de dichas $f$ es la diferencia de dos permutaciones. En Un Problema Combinatorio en Abelian Grupos (Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 3 (1952), 584-587), M. Hall mostró que en un abelian grupo finito de orden $n$ (y, por tanto, en $\mathbb Z/n\mathbb Z$) cualquiera de $n$-tupla de valores que sumas a $0$ es la diferencia de dos permutaciones de los elementos de grupo.