¿Qué es un modelo de #% no lineal %#%?

Question

¿Qué es un modelo de #% no lineal %#%? En muchos libros se pueden ver diferentes tipos de modelos de #% no lineal %#% pero no entiendo cuál es la relación entre todos ellos y por qué se llama $\sigma$.

Answer 1

Me parece que el artículo de la Wikipedia que el OP ha vinculado a comprensible y auto-explicativo. Sin embargo, de nuevo.

Una no lineal sigma-modelo es un modelo que describe campos escalares y que abarcan generalmente curvadas colector equipado con una métrica de Riemann. La métrica de Riemann $g_{ab}(\Sigma^c)$ aparece en la cinética de plazo como un coeficiente de la $\partial^\mu \Sigma^a \partial_\mu \Sigma^b$. Tales modelos pueden ser interpretados como el que describe el movimiento de una partícula o una de mayores dimensiones de la cadena/de branas en la curva del colector.

La palabra "modelo" se refiere a una teoría en particular con determinadas leyes de la física (de Lagrange). Es "no lineal" debido a que la cinética plazo no es simplemente bilineal; es de orden superior y depende de los campos y no sólo el de sus derivados. Las soluciones son entonces no lineal; que puede ser entendido como un movimiento de una partícula (o branes) en una curva de destino colector de que no es por "sendas", por lo que es no lineal.

Se llaman sigma modelos porque la letra $\Sigma$ utilizado para estos campos escalares se pronuncia como "sigma". Bueno, era una minúscula sigma en la importante Dan Friedan 1980 tesis,

http://www.osti.gov/energycitations/servlets/purl/5001689-j6L3sY/5001689.pdf

que no tenía "sigma" en el título, pero se hizo uso de la letra sigma para los campos. Alguna carta tenía que ser elegido, fue este uno, y los físicos económicamente evitar redundante de la terminología y el nombre de la modelo después de la carta, también.

Tener no lineal de los coeficientes de los términos cinéticos es particularmente natural para campos escalares donde puede estar ligado a la geometría de Riemann. Cosas similares no se puede hacer con hilado de campos, al menos no de igual forma natural. Así, la no-lineal de sigma modelos representan una clase importante. Aparece en muchas situaciones en las que los campos escalares son más complicadas que la de "parámetros de etiquetado de algunos planos del espacio". La correspondiente colector se extendió por los campos escalares pueden ser una esfera, un cociente de grupos (por ejemplo, en las teorías de supergravedad), un arbitraria en el espacio-tiempo del colector si se describe la teoría de las cuerdas por un mundo de hoja de Lagrange, la misma cosa para branes, y así sucesivamente.

Answer 2

Lubos respondió a la física de la pregunta, pero la historia está apagado. El origen del término "sigma modelo" para una teoría de campo donde los valores escalares están en un colector de Gell-Mann y de Levy, 1960 papel "de La Axial Vector de Corriente en $\beta$-la Decadencia", que presentó dos modelos.

El primero de ellos es el llamado "lineal sigma modelo", y es un normaliza Heisenberg inspirado en Mexican hat modelo para un pion de condensado. El modelo consta de cuatro campos, $\phi^i$ donde i=0,1,2,3, que tienen un regular sombrero Mexicano potencial, de modo que el vacío de los valores están en una esfera S_3.

Esto hace 3 campo de direcciones de la luz, y estos modos son los tres pions, y un campo de dirección pesados, y de este modo fue llamado el "sigma". Fue una predicción de la partícula, y creo que fue identificado con el $\sigma$(600) amplia resonancia, excepto que esta resonancia es muy extraño y fue retirado de la lista, y es demasiado amplia para ser un verdadero sigma, por lo que el modelo no es bueno.

Ignorando renormalizability, la masa de la $\sigma$ se ajusta al hacer la pared de la Mexicana-hat potencial más estrictos oscilante, y en el límite de infinitamente oscilaciones rápidas, que acaba de terminar la restricción de la $\pi$ campos a una esfera, y no hay energía finita $\sigma$. Este límite es el que no renormalizable no lineal sigma modelo en el papel. Se llama así, porque es la versión no lineal de la renormalizable sigma-modelo de Gell-Mann y Levy cree, pero es un término equivocado, porque el no lineal teoría no tiene un sigma, que es el punto de ir a la versión no lineal.

Si usted comienza con una microscópica no lineal sigma modelo y un entramado de Lagrange, se generará una sigma de forma dinámica y obtendrá lineal sigma modelo de dinámica en las largas distancias. Algo como esto ya era conocida por Gell-Mann y Levy. Pero Gell-Mann no estaba seguro de lo que estaba pasando en las distancias cortas, y estaba abierto a algún tipo de S-matrix cosa tomando el relevo en el colisionador de escala, haciendo renormalizability consideraciones secundarias, por lo que dejó a los no lineales del modelo como una opción, aunque no era renormalization consistentes (esta es mi opinión sobre Gell-Mann, alguien podría preguntarle a la persona y tener una mejor opinión, él nunca miente).

Históricamente, el no lineal sigma modelo fue la primera vez que alguien se había considerado una teoría de campo donde los valores de campo fueron restringidas a un colector. Todos los demás este tipo de construcciones han sido llamados no lineal sigma-modelos a partir de ese punto, y que han evolucionado históricamente a partir de generalizaciones de esta construcción. El término "actual álgebra" también se utiliza a veces para un caso especial de este tipo de construcciones, cuando el colector es un grupo. De la década de 1970 Witten dice 2d actual-álgebra cuando él se refiere a que hay dinámicas de los campos que toma valores en una Mentira Grupo, como en el WZW modelos.

La forma moderna de la Gell-Mann Levy construcción es Quiral Teoría de la Perturbación, y es una baja de energía aproximación a la QCD. El pion campos son quirales rotaciones de los quarks de condensado, mientras que el sigma de excitación no es exactamente necesario, porque no es una simetría de movimiento. Desde el SU(2) de quirales de rotaciones es una 3-esfera topológicamente, no es muy diferente de lo que Gell-Mann y Levy sugerida por primera vez.

El no lineal sigma-modelos asumen una nueva vida debido a Friedan, porque en la teoría de cuerdas, el espacio-tiempo en sí es un sigma-modelo en el worldsheet. El no lineal sigma modelos en Friedan de papel son cualitativamente más sofisticado que Gell-Mann y Levy, y realmente debe ser llamado por un nombre nuevo. Pero no lo son. Eso es historia, nos ocupamos de él.