A partir de un ejercicio de Kreyszig del Análisis Funcional, se establece que
Deje $X$ ser un Espacio de Banach y $(x_n)$ ser una secuencia en $X$ de manera tal que la secuencia de $(f(x_n))$ está delimitado $\forall f\in X'$, muestran que $(\|x_n\|)$ está acotada.
He tratado de demostrarlo dejando $g_n\in X''$ ser canónica de la imagen de $x_n$ e invocó el Uniforme Acotamiento Teorema para demostrar que la secuencia de $(\|g_n\|)$ está acotada. Desde $\|g_n\|=\|x_n\|$, la secuencia de $(\|x_n\|)$ está delimitado por lo que el teorema queda demostrado.
Sin embargo, me di cuenta de que en ninguna parte en la prueba que hice yo una vez utilice el hecho de que $X$ es completa. La cosa más cercana que he usado es de la integridad de la $X'$ pero $X'$ es siempre un Espacio de Banach, independientemente de $X$, por lo que estoy a perder.
Así que, es mi prueba correcta? Si no, entonces ¿cómo podría yo uso la integridad de $X$ solucionarlo? Gracias de antemano.
Edit: parece que $X$ ser un Espacio de Banach no es realmente necesario, después de todo. De todos modos, ¿alguien puede pensar en una manera de demostrarlo con el hecho de que $X$ es completa?
