Esta pregunta se pidió a MO hace un tiempo. A continuación cito la parte relevante de mi respuesta. Pero permítanme añadir algunos comentarios.
En ZFC (correcto) las clases no son objetos reales, sólo debemos tratarlos de manera formal, y que en realidad sólo son atajos para las fórmulas (con parámetros), es decir, identificar las fórmulas de $\phi(x)$ con la colección de conjuntos que satisfacen $\phi$.
Esto hace que hablar de las relaciones entre las clases un poco incómodo. Arturo bonita respuesta, por ejemplo, indica cómo se puede sacar sentido de, digamos, un bijection entre dos clases. Un poco más formalmente, si $X$ es la clase de $x$ tal que $\phi(x)$ $Y$ es la clase de $y$ tal que $\psi(y)$, luego de un bijection entre el $X$ $Y$ es una clase de $Z$ dada por una fórmula $\rho(x,y)$ tal forma que:
- Para cualquier $x,y,z$ si $\rho(x,y)$$\rho(x,z)$$y=z$.
- Del mismo modo, para cualquier $x,y,z$ si$ \rho(x,y)$$\rho(z,y)$,$x=z$.
- Para cualquier $x,y$, $\rho(x,y)$ implica que $\phi(x)$ $\psi(y)$ mantiene.
- Para cualquier $x$ tal que $\phi(x)$ no es un porcentaje ($y$tal que $\rho(x,y)$.
- Y, para cualquier $y$ tal que $\psi(y)$, hay un $x$ tal que $\rho(x,y)$.
Esta dificultad también hace que sea imposible para desarrollar una teoría de las clases. Por ejemplo, la pregunta natural: "Se $X$ $Y$ pf del mismo tamaño?", no puede ni siquiera ser preguntado en ZFC. De, por supuesto, si hay un $\rho$ como en el anterior, entonces podemos decir que tienen el mismo tamaño, como atestigua $Z$, y si no hay tal $\rho$, fuera de ZFC podemos decir que tu no tienen el mismo tamaño, pero todo lo que podemos hacer en ZFC, es decir, de cualquier fórmula $\rho$, $\rho$ no define un bijection entre el $X$ $Y$ .
Por supuesto, equipotency es sólo un ejemplo de lo que no podemos hablar libremente acerca de las clases. Así, cuando el interesado en buen clases, nos movemos de ZFC a otras teorías. Hay (al menos) dos de las extensiones naturales de ZFC donde las clases pueden ser tratados como objetos formales. Uno es NBG (Von Neumann-Bernays-Goedel). Aquí, los objetos son clases, y los conjuntos de clases que pertenecen a otras clases. $Z$ es un bijection entre el $X$ $Y$ fib $A$ es una función, su dominio es $X$ y su rango es de $Y$ (como en el caso de conjuntos). NBG es generalmente preferido porque es un conservador extensión de ZFC; en un sentido, todo lo que hemos hecho es permitir que las referencias a clases sin cambiar lo que queremos decir por "conjunto" de alguna manera. Formalmente, cualquier teorema de NBG que sólo menciona a los conjuntos es un teorema de ZFC. Y nuestra interpretación de las clases dadas por las fórmulas, nos da una manera de extender cualquier modelo de ZFC a uno de NBG.
El hecho de que NBG es conservador más de ZFC es en un sentido una seria limitación, como hemos límite de la noción de clase un tanto artificialmente. Cuando se habla de primaria de la incrustación de las formulaciones de gran cardenal axiomas (algo muy común en la moderna teoría de conjuntos), por ejemplo, la discusión puede ser llevado a cabo en NBG, pero no en el más suave posible de la moda. En términos técnicos, la comprensión de axiomas de NBG es predicativo, pero es difícil justificar esto cuando estamos permitiendo la correcta clases en todos.
La mayoría de extensión natural de ZFC para el tratamiento adecuado de las clases es de Morse-Kelley (MC). Aquí, la comprensión no está restringido, por lo que es más natural para combinar las clases en otros nuevos por las operaciones habituales. El costo de esto es que el MK no es un conservador extensión de ZFC. De hecho, el MK se puede demostrar la consistencia de NBG (y por lo tanto de ZFC). Dicho esto, para discutir equipotency de clases, MC parece ser el marco adecuado.
Aquí es lo que he dicho en el MO post mencionado anteriormente:
En las extensiones de la teoría de conjuntos donde se permiten las clases (no sólo formalmente como en ZFC, sino como objetos reales como en MC o GB), a veces se sugiere agregar un axioma (debido a Von Neumann, creo) que indica que cualquiera de las dos clases son en bijection el uno con el otro. Bajo este axioma, el "cardinalidad" de una clase adecuada sería ORD, la clase de todos los ordinales. (Por cierto, por la clase de forzar, dado cualquier clase adecuada, se puede añadir un bijection entre la clase y ORD sin la adición de conjuntos, por lo que esta hipótesis no tiene ninguna implicaciones para la teoría de conjuntos adecuada.)
Sin asumir Von Neumann axioma, o el axioma de elección, no sé de ninguna forma razonable de hacer sentido de esta noción, como ahora podríamos tener alguna de las clases que son más "fino" que otros, o incluso incomparable. Por supuesto, podríamos modelos de estudio en el que esto sucede (por ejemplo, trabajo en ZF, suponga que hay una fuerte inaccesible $\kappa$, y considerar la posibilidad de $V_\kappa$ como el universo de los conjuntos, y $Def(V_\kappa)$ en Gödel, el sentido (o, incluso,$V_{\kappa+1}$) como la colección de clases).
Permítanme ampliar esto un poco. Sostengo en ZFC como este es el mejor conocido marco de los tres mencionados anteriormente:
En primer lugar, la clase de forzar nos permite añadir un bijection entre el $V$ $ORD$ sin adición de conjuntos. Básicamente, lo que hacemos es "el hilo" a través de la clase de bijections entre los conjuntos y los números ordinales. En el resultado de la extensión, hemos añadido ningún conjuntos, pero tenemos una nueva clase de $G$. La estructura resultante $(V,G,\in)$ es un modelo de la versión fuerte de ZFC donde nos permitir $G$ a aparecer como un predicado en los casos en que el axioma de reemplazo. También, cualquier clase adecuada $A$ aquí (en el sentido de "definible por una fórmula") es también en bijection con los ordinales, y un bijection es fácilmente definible de$A$$G$.
Esto muestra que la suposición de que todas las clases tienen el mismo tamaño es completamente inofensivo: No hay nuevos teoremas de ZFC puede ser demostrado mediante la adición de esta suposición.
El modelo que obtenemos no es una forma "natural" modelo de NBG, sin embargo, ya que G no es definible.
Arturo sugerencia ($V=L$) nos da modelos donde bijections entre las clases y los ordinales son definibles. Tiene la desventaja de que V=L es bastante limitante. Como he mencionado en los comentarios a su respuesta, hay una alternativa: podemos suponer $G$ definibles. Esto es debido a que, por encima de cualquier modelo de ZFC, podemos forzar a obtener un nuevo modelo donde $V=HOD$ (en el otro lado, una vez $V\ne L$ no podemos forzar a tener la igualdad de la espalda).
$HOD$ es la clase de hereditariamente ordinal conjuntos definibles. Esto significa que $x\in HOD$ implica que el $x\subset HOD$, y que para estar en HOD, $x$ deben ser definibles desde ordinal parámetros. De curso $V=L$ implica $V=HOD$, pero $HOD$ es compatible con todos los conocidos grandes cardenales, mientras que $L$ no lo es. Por otra parte, $HOD$ lleva un definibles por el bien de los pedidos (en la clase de orden ORD), así que si $V=HOD$, entonces cualquier clase adecuada es en bijection con los ordinales. Por otra parte, $V=HOD$ es equivalente a la afirmación de que no es un (definible) bijection entre el$V$$ORD$. Así, al menos en ZFC, esto caracteriza de una manera natural cuando todo correcto clases tienen el mismo tamaño (y es realmente la única manera de que "los tamaños de la correcta clases" puede ser libremente discutido en ZFC).
Por último, es coherente que $V\ne HOD$, en cuyo caso $V$ $ORD$ tienen diferentes cardinalidad en la ZFC sentido definido arriba, y en el hecho de que uno puede organizar que hay incomparable "tamaños" de adecuado de las clases.
