Estoy trabajando a través de Stein y Shakarchi del Análisis de Fourier y estoy atascado en el Ejercicio 22 Capítulo 5, el cual cito a continuación. Preliminar notación: $\mathcal{S}$ es el de Schwartz espacio de funciones en $\mathbb{R}$; $\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$ (unitario de la versión, es decir,$\hat{f}(\xi)=\int_\mathbb{R} f(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx$).
El capítulo 5, el Ejercicio 22 De La heurística afirmación se dijo antes Teorema 4.1 puede ser hecho preciso de la siguiente manera. Si $F$ es una función en $\mathbb{R}$, entonces decimos que la preponderancia de su masa está contenida en un intervalo de $I$ (centrado en el origen) si $$\int_I x^2|F(x)|^2\,dx \geq \frac12 \int_\mathbb{R} x^2|F(x)|^2\,dx. \tag{16}\label{eq}$$ Ahora supongamos $f\in\mathcal{S}$, y \eqref{eq} tiene con $F=f$$I=I_1$; también con $F=\hat{f}$$I=I_2$. Entonces si $L_j$ denota la longitud de $I_j$, tenemos $$L_1L_2\geq\frac{1}{2\pi}.$$ Una conclusión similar se aplica en el caso de los intervalos no son necesariamente centrada en el origen.
Para el contexto, aquí es el Teorema 4.1 (el principio de incertidumbre), junto con la heurística afirmación se refiere a que en el ejercicio:
La matemática de empuje de la [incertidumbre] principio puede ser formulado en términos de una relación entre una función y su transformada de Fourier. El subyacente básico de la ley, formulado en su vaga y la mayoría de forma general, establece que una función y su transformada de Fourier no pueden ser esencialmente localizada. Algo más precisamente, si la "preponderancia" de la masa de una función se concentra en un intervalo de longitud de $L$, entonces la preponderancia de la masa de su transformada de Fourier no puede mentir en un intervalo de longitud esencialmente menor que $L^{-1}$. La exacta de la instrucción es la siguiente.
Teorema 4.1 Supongamos $\psi$ es una función en $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ que satisface la normalización de la condición de $\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2\,dx=1$. Entonces $$\left(\int_{-\infty}^\infty x^2|\psi(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty \xi^2|\hat{\psi}(\xi)|^2\,d\xi\right) \geq \frac{1}{16\pi^2},$$ y la igualdad ocurre si, y sólo si $\psi(x)=Ae^{-Bx^2}$ donde$B>0$$|A|^2=\sqrt{2B/\pi}$. De hecho, hemos $$\left(\int_{-\infty}^\infty (x-x_0)^2|\psi(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty (\xi-\xi_0)^2|\hat{\psi}(\xi)|^2\,d\xi\right) \geq \frac{1}{16\pi^2},$$ para cada $x_0,\xi_0\in\mathbb{R}$.
OK, de vuelta al ejercicio. En el intento de conseguir una manija en ella, he podido observar tres cosas:
Por escalamiento $f$ por una constante, puedo asumir que $f$ es normalizado de alguna manera; por ejemplo, que el $\int_\mathbb{R} |f(x)|^2\,dx=1$ o quizás $\int_\mathbb{R} x^2|f(x)|^2\,dx = 1$.
Deje $\delta>0$. Para los intervalos centrada en el origen: Si una preponderancia de la masa de $f(x)$ está contenido en $I_1$, luego de una preponderancia de la masa de $f(\delta x)$ está contenido en $\delta^{-1}I_1$. También, si una preponderancia de la masa de $\hat{f}(\xi)$ está contenido en $I_2$, luego de una preponderancia de la masa de $\delta^{-1}\hat{f}(\delta^{-1}\xi)$ (que es la transformada de Fourier de $f(\delta x)$) se encuentra en $\delta I_2$. Desde $(\delta^{-1}L_1)(\delta L_2)=L_1L_2$, yo puedo, por ejemplo, elige $\delta$, de modo que $\delta^{-1}L_1=\delta L_2$ y demostrar a la declaración de la $f(\delta x)$ y su transformada de Fourier. En otras palabras, no se puede asumir que el $I_1=I_2$.
Yo esperaba que el caso de igualdad a ser al $f$ es una Gaussiana, debido a que este es el caso de igualdad, por el principio de incertidumbre. Sin embargo, el uso de Mathematica he encontrado que esto no es cierto.
Por desgracia, estas tres observaciones son como lo que he sido capaz de obtener en este ejercicio. Creo que mi principal problema es que no veo la manera de expresar las cantidades $L_1$ $L_2$ en términos de otras cantidades conocidas.
