Demostrar por inducción matemática que $1 + 1/4 +\ldots + 1/4^n \to 4/3$

Question

Por favor ayuda. No he encontrado ningún texto sobre cómo probar por la inducción de este tipo de problemas:

$$ \lim_{n\to + \infty}1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \cdots+ \frac{1}{4^n} = \frac{4}{3} $$

Absolutamente no puedo cómo uno puede probar tal. Puedo probar básicos divisibles "inducciones" pero no esta. Gracias.

Answer 1

Arquímedes hizo este (Thomas Heath traducción de la Cuadratura de la Parábola, la Proposición 23). Él mostró que (expresado en notación moderna) $$ \underbrace{1+\frac14+\frac1{4^2}+\cdots+\frac1{4^n}}+\underbrace{\frac13\left(\frac1{4^n}\right)} $$ no depende del número de términos. Todo lo que tienes que hacer es mostrar que cuando se vaya, el siguiente término, la suma no cambia. Cuando usted vaya a la siguiente término, se obtiene $$ \underbrace{1+\frac14+\frac1{4^2}+\cdots+\frac1{4^n}+\frac1{4^{n+1}}}+\underbrace{\frac13\left(\frac1{4^{n+1}}\right)}. $$ Pero han cambiado $$ \frac13\left(\frac1{4^n}\right) $$ a $$ \frac1{4^{n+1}}+\frac13\cdot\frac1{4^{n+1}}. $$ El problema entonces es sólo para mostrar que esas dos cosas son iguales. Si se multiplican ambos por $4^n$, entonces uno de ellos se convierte en $$ \frac13 $$ y el otro se convierte en $$ \frac14+\frac13\cdot\frac14. $$ Es fácil mostrar que esos son iguales.

Ya que la suma no depende del número de términos, la suma es justo lo que usted consigue cuando $n=0$: $$ 1+\frac13. $$

El método utilizado por Arquímedes tal vez no puede ser considerado como una instancia de la inducción matemática, sino que sugiere a la vez cómo escribir como una prueba por inducción.

Última nota: Thomas Heath se traduce la Proposición 23 de Arquímedes de la Cuadratura de la Parábola de la siguiente manera:

Dada una serie de áreas de $A,B,C,D,\cdots Z$ $A$ es el más grande, y cada uno es igual a cuatro veces el siguiente en orden, entonces $$ A+B+C+\cdots+Z + \frac13 Z = \frac43 A. $$

Todavía más tarde nota: esto es lo que tiene que ver con las parábolas: Dada una línea secante a una parábola, dibuje una línea a través de su punto medio paralelo al eje, por lo tanto.

A continuación, dibuje las dos adicionales resultantes de la secante líneas, haciendo un triángulo, y la construcción de triángulos en la parte superior de los dos secante líneas, de la misma manera, por lo tanto.

Arquímedes demostró que los dos pequeños triángulos que tienen un área total que es $1/4$ de la de la gran triángulo. A continuación, observe que el proceso puede continuar para siempre, que el área limitada por la parábola y la primera línea secante igual a $4/3$ el área de ese gran triángulo.

Answer 2

Si desea utilizar la prueba por inducción, tienes que demostrar lo fuerte que

$$ 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \cdots+ \frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}-\frac{1}{3}\frac{1}{4^n} $$

Answer 3

Después de restar $1$ esto es equivalente a $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \cdots = \frac{1}{3}$. He aquí:

Imagen tomada de aquí.

Answer 4

tengo una solución, pero no parecen inducción matemática

$s = 1 + \dfrac1{4} + \dfrac1{4^2} + \dfrac1{4^3} + \dfrac1{4^4} + \cdots$

$\dfrac1{4}s = \dfrac1{4} + \dfrac1{4^2} + \dfrac1{4^3} + \dfrac1{4^4} + \dfrac1{4^5} + \cdots$

$\dfrac1{4}s = - 1 + (1 + \dfrac1{4} + \dfrac1{4^2} + \dfrac1{4^3} + \dfrac1{4^4} + \dfrac1{4^5} + \cdots)$

$\dfrac1{4}s = - 1 + s$

$\dfrac3{4}s =1$

$s = \dfrac4{3}$