Ayuda para encontrar integrales: $\int \frac{dx}{x\sqrt{1 + x + x^2}}$

Question

Alguien me podria ayudar con la búsqueda de esta integral

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{1 + x + x^2}}$$

o dar una pista sobre cómo resolverla.

Gracias de antemano

Answer 1

Puesto que el integrando es una función irracional cuadrática del tipo $R(x,\sqrt{1+x+x^{2}})$, puede utilizar la sustitución de Euler $\sqrt{1+x+x^{2}}=x+t$. Se obtiene

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{x\sqrt{1+x+x^{2}}} &=&\int \frac{2}{t^{2}-1}\,dt \\ &=&-2\operatorname{arctanh}t+C \\ &=&-2\operatorname{arctanh}\left( \sqrt{1+x+x^{2}}-x\right)+C. \end{eqnarray *} $$

Answer 2

Hacer la sustitución $x = \frac{1}{t}$ y esto se reduce a encontrar

$$\int \frac{\text{d}t}{\sqrt{t^2 + t + 1}}$$

que puede reducirse fácilmente a encontrar la integral estándar:

$$ \int \frac{\text{d}z}{\sqrt{z^2 + 1}} = \sinh^{-1}(z) + C$$

Esta sustitución se puede utilizar para encontrar

$$\int \frac{\text{d}x}{x\sqrt{P(x)}}$$

donde $P(x)$ es un polinomio cuadrático en $x$.

Answer 3

$\displaystyle\int\frac{1}{x\sqrt{x^2+x+1}}dx=\int\frac{1}{x\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}}dx$.$\;\;$ Now let $x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$, $dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\sec^{2}\theta d\theta$

a $\displaystyle\int\frac{1}{(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta-\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}\sec\theta)}\frac{\sqrt{3}}{2}\sec^{2}\theta d\theta=\int\frac{\sec\theta}{\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta-\frac{1}{2}}d\theta=\int\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta-\frac{1}{2}\cos\theta}d\theta$

$\;\;=\displaystyle\int\frac{1}{-\cos(\theta+\frac{\pi}{3})}d\theta=-\int\sec\big(\theta+\frac{\pi}{3}\big)d\theta=-\ln\left|\sec\big(\theta+\frac{\pi}{3}\big)+\tan\big(\theta+\frac{\pi}{3}\big)\right|+C$

$\;\;=-\displaystyle\ln\left|\frac{-2\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{3}x}-\frac{x+2}{\sqrt{3}x}\right|+C=-\ln\left|\frac{2\sqrt{x^2+x+1}+x+2}{\sqrt{3}x}\right|+C$

$\;\;\displaystyle=\ln\left|\frac{\sqrt{3}x}{2\sqrt{x^2+x+1}+x+2}\right|+C=\ln|x|-\ln\left(2\sqrt{x^2+x+1}+x+2\right)+C$

Answer 4

Sí. Los trabajos de #% de %#% de sustitución. Pero busque el signo menos.

Reducir a integrales de $x = \frac{1}{t}$, que puede ser reducido más lejos a integral de $\frac{-dt}{\sqrt{t^2+t+1}}$

Saludos, Prakash