Loci trigonales en los espacios de Teichmueller

Question

Como mi pregunta anterior

Loci hiperelípticos en espacios de Teichmueller

resultado en dos respuestas rápidas y útiles, permítanme hacer otra pregunta en una línea similar:

Una curva compleja compacta y suave se llama trigonal, si es una triple cobertura de la recta proyectiva. Sea ${\mathcal X}_g$ sea el lugar trigonal en el espacio de moduli del género suave $g$ curvas (no sé cuál es la notación estándar). ¿Qué se puede decir de la topología de la preimagen de ${\mathcal X}_g$ en el espacio de Teichmueller? En concreto, ¿está conectado? Si no es así, ¿existe una descripción de sus componentes conectados en términos de grupos de clases de mapas similar a la del caso hiperelíptico? ¿Se puede decir algo razonable sobre los grupos fundamentales de los componentes conectados?

Answer 1

El argumento que di en ese hilo se extiende a una clase bastante amplia de superficies con varias simetrías. Es el mismo argumento, pero hay algunos hechos que son verdaderos para las curvas hiperelípticas que son un poco más difíciles para las curvas con otras simetrías. La línea de razonamiento creo que es esta:

Dejemos que $G$ sea un subgrupo finito del grupo de difeomorfismo de una superficie $\Sigma_g$ . Dejemos que $N(G)$ sea el normalizador de $G$ en $Diff(\Sigma_g)$ . Así que en la mayoría de las situaciones hay una corta secuencia exacta $0 \to G \to \pi_0 N(G) \to \pi_0 Diff(\Sigma_g / G) \to 0$ (Birman-Hilden) donde estamos pensando en $\Sigma_g /G$ como un orbifold. Además hay un mapa $\pi_0 N(G) \to \pi_0 Diff(\Sigma_g)$ . Siempre que la imagen de este mapa sea el normalizador de $G$ en $\pi_0 Diff(\Sigma_g)$ (que según Birman-Hilden es una lista bastante genérica de casos), entonces creo que el argumento es válido.

El Birmano-Hilden referencia. El caso que le interesa es (?creo?) cuando $\Sigma_g / G$ es un orbifold cuyo espacio topológico subyacente es una esfera.

Esto es sólo lo que se me ocurre y es probable que esté pasando por alto algunos detalles importantes. Estaré encantado de intentar aclararlo.

Así que, en general, la elevación de su espacio de moduli está desconectada y sus componentes están indexados por los cosets del grupo $\pi_0 N(G)$ en el grupo de clases de mapeo. $\pi_0 N(G)$ es el grupo hiperelíptico en el caso de que $G = \mathbb Z_2$ es la involución hiperelíptica de su superficie.

Answer 2

El lugar trigonal en el espacio de Teichmuller -bajo hipotesis leve- es conexo. La respuesta se desprende de uno de los principales resultados de

http://arxiv.org/abs/1403.7399