Regularidad del núcleo de calor

Question

Deje $(M,g)$ ser un equipo compacto de Riemann colector. Deje $H:M\times M\times\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ ser el calor del núcleo. es decir, $H\in C^0(M\times M\times\mathbb{R}_{>0})$ es la única función continua tal que para todos los $y\in M$,

(A) $H^y\in C^{2,1}(M\times\mathbb{R}_{>0})$

(B) $\left(\Delta^g-\dfrac{\partial}{\partial t}\right)H^y=0$

(C) $\displaystyle\lim_{t\to0}H^y_t=\delta_y$

, donde $H^y(x,t):=H(x,y,t)$, $H^y_t(x):=H^y(x,t)$,

$C^{2,1}(M\times\mathbb{R}_{>0}):=\{\varphi:M\times\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}|\text{ For each chart }(U;x^1,\cdots,x^m)\subset M, \dfrac{\partial\varphi}{\partial t}, \dfrac{\partial\varphi}{\partial x^i},\text{ and }\dfrac{\partial^2\varphi}{\partial x^i\partial x^j}:U\times\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R} \text{ are well defined and continuous.}\}$.

${\bf [Question 1]}$ A partir de (A) y (B) anteriores se deriva que $H^y\in C^\infty(M\times\mathbb{R}_{>0})$ todos los $y\in M$. Cómo sobre la regularidad de H como una función en $M\times M\times\mathbb{R}_{>0}$? Es que $H\in C^\infty(M\times M\times \mathbb{R}_{>0})$? Si no, no hay ninguna regularidad resultado de $H:M\times M\times\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$, lo que es útil para el intercambio de las integrales y la diferenciación?

${\bf [Question 2]}$ Supongamos que $F:M\times[0,T]\to \mathbb{R}$ es una función continua. Entonces, ¿es verdad que la función \begin{eqnarray} u(x,t):=-\int_0^t\int_M H(x,y,t-\tau)F(y,\tau)\mu_g(dy)d\tau \end{eqnarray} pertenece a $C^{1,0}(M\times[0,T])\cap C^{2,1}(M\times(0,T))$?

${\bf [Question 3]}$ Supongamos que $f:M\to\mathbb{R}$ $C^1$ función. Hace la función \begin{eqnarray} v(x,t):=\int_M H(x,y,t)f(y)\mu_g dy \end{eqnarray} pertenecen a $C^{1,0}(M\times[0,\infty))\cap C^{2,1}(M\times\mathbb{R}_{>0})$?

Por favor, dime también referencias. Gracias.

Answer 1

Para la pregunta 1, ver Teorema 5.2.1 de la E. B. Davies, libro de Calor Núcleos y Espectral de la Teoría, que afirma que, efectivamente, el calor del núcleo es un $C^\infty$ función en $M \times M \times (0,\infty)$. (También se aplica a Riemann colectores $M$ que son completos, pero no compacto.)

Para la pregunta 2, es suficiente para asumir la $F$ es limitado y medibles. La diferenciación bajo el signo integral mostrará que $u \in C^\infty(M \times (0,T))$. De hecho, para esto basta para asumir la $F$ es limitado y medibles. Para obtener continuidad a a $t=T$, extender $F$$\tilde{F} : M \times [0,T+\epsilon]$$\tilde{F}(x,t) = F(x,t)$$t \le T$$\tilde{F}(x,t) = 0$$t > T$. A continuación, la correspondiente función de $\tilde{u}$ es continua (suavizar) en $M \times (0, T+\epsilon)$$\tilde{u}(x,t) = u(x,t)$$t \le T$.

Para conseguir la continuidad en $t=0$, simplemente se nota que $$|u(x,t)| \le t \cdot\left(\sup_{M \times [0,t]} |F|\right)\left( \sup_{\tau \in [0,t]} \int_M H(x,y,t-\tau) \mu_g(dy)\right)$$ Pero $\sup_{M \times [0,t]} |F|$ es finito si $F$ es acotado, y $\int_M H(x,y,t-\tau) \mu_g(dy) = 1$ cualquier $x, t, \tau$.

Supongo que usted quiere mostrar que la distribución espacial de los derivados de la $u$ son continuas hasta el $t=0$. Que no debería ser muy difícil, pero tal vez necesita un poco más de pensamiento.

Para la pregunta 3, como antes, si $f$ es meramente acotado medible y, a continuación, $u \in C^\infty(M \times (0,\infty))$ mediante la diferenciación bajo el signo integral.

Se sigue trabajando en la continuidad en 0. Es realmente sólo vas a venir a partir de la continuidad de $f$, el hecho de que $H(x,y,t) \to \delta_x$ y el triángulo de la desigualdad.

Answer 2

Suavidad en todas las preguntas tiene un carácter local. Y en coordenadas locales es una ecuación parabólica $Lu=F$ (suave) variable coeficientes. Por lo que el local de la teoría en la $\mathbb R^n$ va a hacer.

En Pregunta2 la respuesta es no. Si la función $F$ es continua, no se sigue que $u$ a nivel local es de $C^{2,1}$. Para la ecuación del calor ver no clásicas de solución a u_t-\Delta u=f en un espacio de dimensión? la pregunta aquí.

En Pregunta3 la respuesta es sí. Como se mencionó es una cuestión de local regularidad. Y para $\mathbb R^n$ uno puede diferenciar la ecuación de $Lu=0$ con respecto al espacio de la variable $x_i$, la transferencia de todos los términos con $u$ a los rhs y obtener un problema de Cauchy para $\partial_iu$ con un continuo estado inicial $\partial_i f$ y un continuo rhs. Se incluye en la definición de una solución fundamental que $v(x,t)\to f(x)$ $t\to0\!+$ continua $f$, véase, por ejemplo, A. Friedman, Ecuaciones Diferenciales Parciales de Tipo Parabólico.