En Euclid, día de la moderna noción de número real no existen; Euclides no cree que la longitud de un segmento de línea que fue una cantidad medible por el número. Pero él creía que tenía sentido hablar de la relación de dos longitudes. De hecho, se dedica en el Libro V de sus Elementos para el estudio de estas relaciones, el uso de los llamados Eudoxian la teoría de las proporciones. He aquí cómo funciona.
Deje $w$ $x$ ser de dos magnitudes de la misma clase (por ejemplo, dos de longitud), y deje $y$ $z$ ser de dos magnitudes de la misma clase (por ejemplo dos áreas). A continuación, de acuerdo a Euclides, la proporción de $w$ $x$se dice que ser igual a la proporción de $y$ $z$si para todos los enteros positivos $m$ $n$ si $nw$ es mayor, igual, o menor que $mx$, $ny$ es mayor, igual, o menor que $mz$, respectivamente. O, para decirlo con más de una lengua moderna, $w/x = y/z$ si la misma números racionales $m/n$ son menores de ambos, la misma números racionales son iguales para ambos, y el mismo los números racionales son mayores que las de ambos.
En otras palabras, una relación se define por las clases de los números racionales que son, menor que, igual a, mayor que ella. Si usted ha estudiado análisis real; esto debería ser familiar: es como el sistema numérico real está construido a partir de Dedekind cortes! De hecho, Dedekind tomó la Eudoxian la teoría de las proporciones en Euclid del libro V como la inspiración para su Dedekind construcción de corte. Así que en resumen, mientras que Euclides no habría pensado en ellos como números, su noción de "ratios" corresponde a nuestra noción de "números reales positivos".
Ahora con esto de fondo, me gustaría probar el uso de Euclides del sistema que la multiplicación de números reales es conmutativa. En primer lugar, permítanme explicar cómo el producto de dos relaciones se define. (Euclides utiliza el producto en un par de propuestas, incluyendo este.) Podemos decir que el producto de $w/x$ $y/z$ es igual a $u/v$ si existen magnitudes $r,s,$ $t$ tal que $w/x = r/s$, $y/z = s/t$, y $r/t = u/v$.
Así que con el fin de demostrar la conmutatividad de la multiplicación, se tendría que probar lo siguiente:
Supongamos que $b/c = e/f$$a/b = f/g$. A continuación,$a/c =e/g$.
Si pudiéramos demostrar que, entonces eso significaría que el producto de la $b/c$ $a/b$ es igual al producto de $a/b$$b/c$, lo que supondría de inmediato implica la conmutatividad de la multiplicación en general.
Entonces, ¿cómo puedo demostrar que? Euclides del Libro V contiene una gran cantidad de teoremas sobre las proporciones que son potencialmente relevantes, pero no estoy seguro de cómo proceder.
EDIT: me acaba de publicar una pregunta de seguimiento sobre la propiedad distributiva.
