Converse exponencial de la matriz. Panadero-Campbell-Hausdorff

Question

Actualmente estoy leyendo acerca de los Baker-Campbell-Hausdorff fórmula y en un libro de texto sobre Álgebras de Lie, se muestra que si

$$[X,[X,Y]] = 0 \quad \text{ and } [Y,[X,Y]] = 0$$

entonces

$$e^{Xt}e^{Yt} = e^{Xt + Yt + \frac{t^{2}}{2}[X,Y]}.$$

donde $[X,Y] = XY-YX$ $X,Y$ son matrices cuadradas. Más tarde he leído en la wikipedia que si

$$e^{X}e^{Y} = e^{(X+Y)},$$

esto no implica necesariamente que $X$ $Y$ viaje, que me lleva a creer que el recíproco del resultado en el texto es falso.

¿Cómo probar que/refutar lo contrario? Parece difícil y laborioso para construir y verificar un contraejemplo (y ni siquiera estoy seguro de lo contrario es false); he intentado diferenciar $e^{Xt}e^{Yt} = e^{Xt+Yt + \frac{t^{2}}{2}[X,Y]}$ y evaluar a cero, pero rápidamente se convirtió en un desastre debido a la complejidad de las derivadas de orden mayor. Luego traté de demostrar que es mucho más fácil

$$e^{Xt}e^{Yt} = e^{(X+Y)t} \implies [X,Y] = 0$$

con la misma técnica (la hipótesis de que si se puede trabajar con esta declaración, luego de que funcione con la más uno después de un poco de esfuerzo), pero terminé con una colección de productos de matriz después de la tercera derivada evaluada en cero que al parecer, no me ayuda en absoluto.

Editar:

Después de algunas lecturas adicionales, me he encontrado con que $e^{X}e^{Y} = e^{(X+Y)} \implies [X,Y]=0$ no es cierto, pero si $e^{Xt}e^{Yt} = e^{(X+Y)t}$ todos los $t$, entonces esta declaración más fuerte será cierto. Esto me hace sospechar lo contrario que yo quiero probar/refutar es cierto, pero me ha puesto ninguna más en la realidad de probarlo.

Edit 2:

Después de tomar varias derivadas de orden mayor y evaluando en cero, he sido capaz de demostrar que $[Y,[X,Y]] = 0$, pero la repetición de este proceso se está convirtiendo en demasiado difíciles de calcular a mano debido a la gran cantidad de anidado de los conmutadores. Creo que debe haber una manera de usar la simetría para utilizar este resultado a la conclusión de que la $X$ debe también viajan con $[X,Y]$ aquí, pero no sé cómo proceder.

Answer 1

Tomar $ A=\begin{pmatrix} 0&0 \\ 0&2i\pi \\ \end{pmatrix}$, $\quad B=\begin{pmatrix} 0&1\\ 0 & 2i\pi \end{pmatrix}.$ a continuación, puede mostrar que $\exp(A)=\exp(B)=\exp(A+B)=I_2$ y $AB \neq BA$.

Para la prueba de $e^{Xt+Yt}=e^{Xt} e^{Yt} \Rightarrow [X,Y]=0$: tenga en cuenta que $$\exp(\frac{Xt}{n}).\exp(\frac{Yt}{n}).\exp(-\frac{Xt+Yt}{n}) = {\rm Id} + \frac{[Xt,Yt]}{2n^2} + o(n^{-2}),$ $ por lo tanto es constante a $$\lim_{n \to +\infty} \left( \exp(\frac{Xt}{n}).\exp(\frac{Yt}{n}).\exp(-\frac{Xt+Yt}{n}) \right)^{2n^2} = \exp([Xt,Yt]).$ $1$ $ desde la secuencia, tenemos $\exp([Xt,Yt])=1$. Tomar el derivado en $t=0$ a la conclusión de que $[X,Y]=0$.

Answer 2

Calcula la fórmula de panadero-Campbell-Hausdorff

$$log (\ exp(X) \ exp(Y))$$

como serie de potencias en X, Y y sus conmutadores superiores, por ejemplo, Wikipedia. Si reemplaza $X$ $tX$ y $Y$ $tY$ se puede obtener igualando potencias de t:

$$exp(tX)exp(tY)=exp(tX+tY+(t^2/2)[X,Y]), t\in \mathbb R \implies [X,[X,Y]] + [Y,[Y,X]] = 0.$$

Por supuesto la fórmula también da el resultado anterior

$$exp(tX)exp(tY)=exp(tX+tY), t\in \mathbb R \implies [X,Y] = 0.$$