Ideal de las formas de la cúspide para $\Gamma_0(4)$ es principal

Question

Sea un subgrupo de congruencia de $\Gamma_0(4)$ definidas como $SL(2,\mathbb{Z})$

$\Gamma_0 (4) = \ {M =\begin{pmatrix} a &b\\ c& d \end{pmatrix} \in SL(2,\mathbb{Z}) \mid c = 0\bmod 4\}. $$ Función eta de Dedekind se define como %#% $ #%

Cómo probar que el ideal de la cúspide forma $$\eta(z)=q^{1/24}\prod_{n\geq1}(1-q^n).$ es principal y generados por

$\Gamma_0(4)$$

Answer 1

La forma $f(z)$ genera el $\Gamma_0(4)$ cuspforms (como un ideal sobre el clasificados anillo de todas las formas modulares para $\Gamma_0(4)$) para la misma razón por la que $\Delta(z) = \eta(z)^{24}$ genera el cuspforms para el pleno modular grupo $\Gamma(1) = {\rm SL}_2({\bf Z})$: esta $f$ es un cuspform sin ceros en el plano finito, y se desvanece en cada cúspide sólo a la multiplicidad necesario para tener un cuspform. Por lo tanto, si $\varphi$ es cualquier otro cuspform, dicen de peso $w$, $\varphi_1 := \varphi/f$ es una forma modular de peso $w-6$, y hemos escrito $\varphi$ $f \varphi_1$ para algunos de forma modular $\varphi_1$ como se desee.

El hecho de que no hay ceros en el plano finito es claro a partir de la fórmula del producto para $\eta(z)$. La desaparición de la orden en las cúspides es más fácil ver si hacemos un cambio de variables a $w := 2z$, debido a que a continuación, $f(z) = \eta(w)^{12}$ es un cuspform para la acción de la $\Gamma(2)$ en $w$, y los tres cúspides de $\Gamma(2)$ todos tienen el mismo ancho (es decir,$2$) porque son transitivamente permutada por $\Gamma(1)$, por lo $\eta(w)^{12}$ se desvanece a fin de $1$ en cada cúspide.

Ejemplos similares para otros grupos se $\eta(3z)^8$ $\Gamma_0(9)$ (equivalentemente,$\eta(z)^8$$\Gamma(3)$), y $(\eta(z)\eta(pz))^w$ para $\Gamma_0(p)$ $p=2,3,5,11$ (es decir, los números primos con $p+1\mid12$) y $(p+1)w=24$. El último de estos también funciona para $p=7$ $p=23$ si permitimos que las formas modulares con cuadrática carácter.