¿Lo que puede ser conocido acerca de las fórmulas de energía sólo por el hecho de que se conserva?

Question

Se trata de averiguar cómo la energía puede ser derivada saber sólo una cosa:

Hay una cantidad llamada energía que se conserva en el tiempo.

El objetivo es obtener una ecuación que implica de alguna manera las fórmulas básicas de energía cinética y energía potencial, $\frac{1}{2}mv^2$y $mgh$. Entonces, ¿cómo podemos conseguir esto con sólo un conocimiento rudimentario de la física y álgebra y el primer principio (indicado arriba)?

Answer 1

Deje $E$ denotar una cantidad que no cambia a lo largo del tiempo (desde el principio).

Considere la posibilidad de una bola con la masa de $m$ deja caer desde una altura de $h$. Como las gotas de pelota, sus cambios de velocidad debido a la aceleración de la gravedad $g$, alcanzando un valor final $v$ en el impacto. Por lo tanto, podemos inferir que la cantidad de $E$ depende de estos 4 parámetros: $$E(m,H,g,V)$$ donde $H$ es una variable altura y $V$ es una variable de la velocidad.

Ahora, considere la posibilidad de la pelota en el instante en que ha caído. Tiene la altura de la $h$$V=0 $.

A continuación, considere la posibilidad de la pelota justo antes de tocar el suelo. Ha $H=0$ y la velocidad de $v$.

Por lo tanto, la velocidad de $v$ y la altura de la $h$ más probable es que no se multiplica por cada uno de los otros, puesto que daría un valor de $0$ tanto en la parte superior y en la parte inferior. Así, desde el primer principio:$$E_i(m,h,g,0)=E_f(m,0,g,v)$$ $$E_i(m,h,g)=E_f(m,g,v)$$

La energía inicial, que no tiene dependencia de la velocidad y la total dependencia del objeto de la altura sobre el suelo, puede ser llamado el potencial de la energía. Del mismo modo, el final de energía, que es completamente dependiente de la del objeto de la velocidad, que puede ser llamada la energía cinética.

Vemos que $m$ tiene unidades de masa $\left(M\right)$, $h$ tiene unidades de longitud $\left(L\right)$, $g$ tiene unidades de longitud a lo largo del tiempo al cuadrado $\left(\frac{L}{T^2}\right)$, $v$ tiene unidades de longitud a lo largo del tiempo $\left(\frac{L}{T}\right)$. Por lo que podemos utilizar el análisis dimensional para averiguar cómo estos parámetros de ajuste más probable es que en la ecuación: $$\alpha m^ah^bg^c=\beta m^dg^ev^f$$ $$M^aL^b \left( \frac{L}{T^2} \right)^c=M^d\left( \frac{L}{T^2} \right)^e \left( \frac{L}{T} \right)^f$$ $$M^aL^{b+c}T^{-2c}=M^dL^{e+f}T^{-2e-f}$$ ( $\alpha$$\beta$ son constantes de proporcionalidad, y son adimensionales.)

Terminamos con el siguiente sistema de ecuaciones, que tiene 3 ecuaciones y 6 incógnitas: $$a=d$$ $$b+c=e+f$$ $$-2c=-2e-f$$ Si nos vamos a $a=w$, $b=u$, y $c=v$, entonces tenemos:

$a=w$

$b=u$

$c=v$

$d=w$

$e=v-u$

$f=2u$

Así que tenemos la siguiente ecuación general:$$\alpha m^wh^ug^v=\beta m^wg^{v-u}v^{2u}$$

Lo que no está claro en este momento si o no la masa $m$ es relevante para la energía; puesto que aparece en ambos lados de la ecuación, es seguro quitar de ella por ahora. También, se podría eliminar las constantes $\alpha$$\beta$, teniendo en cuenta que todavía están allí. Así que la forma reducida de la ecuación es: $$h^ug^v=g^{v-u}v^{2u}$$ Es claro que para cualquier $u$ $v$ que elegimos, la ecuación podría satisfacer a nuestros análisis dimensional. Así, la única cosa que queda por hacer es que los valores de entrada de $u$ $v$ y ver qué tipo de ecuaciones se puede venir para arriba con.

Para $u=0$, $v=1$ $$g=g$$

Para $u=1$, $v=0$ $$h=g^{-1}v^2$$ $$hg=v^2$$

Para $u=1$, $v=1$ $$hg=v^2$$

Para $u=1$, $v=2$ $$hg^2=gv^2$$ $$hg=v^2$$

Para $u=2$, $v=2$ $$h^2g^2=v^4$$ $$hg=v^2$$

Curiosamente, para cualquier $u$ $v$ que elegimos, la ecuación se mantiene sin cambios. (Me sorprendió cuando vi esto!) En este punto, no está claro si la energía potencial, la energía cinética, o ambos dependen de la aceleración de la gravedad.

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En este punto me gustaría pasar a otro ejemplo en el que un bloque de masa $m$ y la velocidad de $v$ es sobre una superficie sin fricción y comprime un resorte con constante de resorte $k$ por un importe $x$. Podemos inferir que $E$ depende de estos 4 parámetros: $$E(m,V,k,X)$$ donde $V$ es una variable de la velocidad y de $X$ es una cantidad variable de compresión en la primavera.

Ahora, considere el bloque antes de que comience la compresión de la primavera. Tiene la velocidad de $v$$X=0$.

A continuación, considere el bloque cuando completamente se comprime el muelle. Ha $v=0$ y la compresión en la primavera es $x$. Por la misma lógica que el anterior, me deducir que la velocidad y comprimido longitud no puede ser multiplicado por la otra, en cualquier instante en el tiempo para obtener la cantidad de $E$. Podemos escribir la siguiente ecuación del primer principio: $$E_i(m,v,k,0)=E_f(m,0,k,x)$$ $$E_i(m,v,k)=E_f(m,k,x)$$ La cantidad final puede ser llamado la primavera de energía potencial. La cantidad inicial en esta ecuación es equivalente a lo que llamamos la energía cinética en el primer ejemplo. Sin embargo, esta cantidad no depende de $g$, mientras que el término que nos llamó la energía cinética en el primer ejemplo no depende de $k$. Por lo tanto podemos inferir que la energía cinética depende ni $g$ ni $k$. Que es: $$E_i(m,v)=E_f(m,k,x)$$ Podemos utilizar el análisis dimensional como hicimos anteriormente para averiguar la correcta exponentes. $$\beta m^av^b=\gamma m^ck^dx^e$$ $$M^a \left( \frac{L}{T} \right)^b = M^c \left( \frac{M}{T^2} \right)^d L^e$$ $$M^aL^bT^{-b}=M^{c+d}L^eT^{-2d}$$ $$a=c+d$$ $$b=e$$ $$-b=-2d$$ Deje $c=v$$d=u$,

$a=v+u$

$b=2u$

$c=v$

$d=u$

$e=2u$

Por lo tanto tenemos:$$m^{v+u}v^{2u}=m^vk^ux^{2u}$$

Vamos $u=1$, $v=1$ $$m^2v^2=mkx^2$$ $$mv^2=kx^2$$

Para otros valores de $u$ $v$ obtenemos la misma ecuación. Observe cómo la masa siempre debe existir en al menos un lado de la ecuación.

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En este punto, sabemos que la energía cinética depende de la velocidad de un objeto, y puede o no puede depender de la masa. La energía potencial depende de la altura sobre el suelo, la aceleración debida a la gravedad, y puede o no puede depender de la masa. La primavera la energía potencial depende de la constante del resorte y la cantidad comprimido, y puede o no puede depender de la masa.

Así que si la energía potencial no depende de la masa, tenemos:

$E_{potential}= \alpha gh$

$E_{kinetic}=\beta v^2$

$E_{spring potential}=\gamma \frac{kx^2}{m}$

Si la energía potencial depende de la primera fuerza de la masa, tenemos:

$E_{potential}= \alpha mgh$

$E_{kinetic}=\beta mv^2$

$E_{spring potential}=\gamma kx^2$

Si la energía potencial depende de la segunda potencia de la masa, tenemos:

$E_{potential}= \alpha m^2gh$

$E_{kinetic}=\beta m^2v^2$

$E_{spring potential}=\gamma mkx^2$

Utilizamos el uno donde la energía potencial depende de la primera fuerza de la masa, pero a mí me parece como si basado en este análisis preliminar, que cualquiera de estos 3 conjuntos de ecuaciones puede ser definida como la "energía".

Por supuesto, no hemos considerado el hecho de que la primavera la energía potencial no depende en absoluto de la masa del objeto en la compresión. Esto limitaría nuestra formulación de la potencial, cinética, y la primavera de energías potenciales para la segunda versión anterior. Además, no hemos determinado los valores de las constantes de proporcionalidad, $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$. El mejor que podía hacer era encontrar la relación de $\alpha$$\beta$, que es de 2:1, utilizando la cinemática. Aún así, creo que hemos ido bastante lejos, teniendo en cuenta que sólo hemos necesitado usar algo de intuición y un poco de álgebra ;)

Answer 2

Esta es una buena pregunta, pero creo que se necesita ser refinado un poco. A partir de la información dada, la cantidad conservada nos encontramos con que podría ser la masa, energía, momento angular, o la carga eléctrica. También, el resultado de algo así como la energía no puede ser definida únicamente basado en la información dada, ya que, por ejemplo, una expresión relativista también sería coherente con toda la información dada. O podemos tener $E=bE_o$ donde $E$ es la cantidad que terminan de definir, $b$ es una constante, y $E_o$ es la cantidad definida en los libros de texto. Basado en estos ejemplos, claramente necesitamos algo más de postulados, tal vez algo como lo siguiente:

1. La conserva de la cantidad tiene que ser aditiva y tiene que describir el estado del sistema (necesario para cualquier ley de la conservación).

2. El dominio de aplicabilidad es la mecánica (de lo contrario podríamos estar hablando de conservación de la carga).

3. No hay nuevos unitful constantes aparecerá (o de lo contrario podríamos tener posibilidades, como las expresiones relativistas, que contienen $c$).

4. La energía es una magnitud escalar.

5. Conservación de la energía es igualmente válido en todos los marcos inerciales.

6. Hay un campo gravitacional $\textbf{g}$, la cual es estática y uniforme y da la aceleración de caída libre de los objetos.

7. El tiempo de reversión de simetría tiene.

De la asunción #2, esperamos que estas expresiones implican $m$$\textbf{v}$. De la asunción #6, las expresiones deben involucrar a $\textbf{g}$ y el vector de posición $\textbf{r}$, y desde #5 la elección del origen de coordenadas para definir la $\textbf{r}$ debe ser arbitraria. Por el #1, el único de los poderes de $m$ que pueden aparecer en cualquier plazo son 0 o 1. Por el #1, cosas como el vector de aceleración no puede aparecer, ya que no describen el estado de un sistema (por ejemplo, puede imponer una posición inicial y la velocidad de una pelota de béisbol, pero no "recordar" su aceleración inicial).

La forma más fácil escalares a formarse a partir de estos ingredientes son 1, $m$, $m\textbf{v}\cdot\textbf{v}$, $m\textbf{g}\cdot\textbf{g}$, y $m\textbf{r}\cdot\textbf{r}$. La constante 1 es interesante porque no afecta a las predicciones de la ley de la conservación. Si la masa es una propiedad fija de nuestras partículas, entonces el mismo se aplica a $mg^2$. No podemos tener a $mr^2$, o de cualquier expresión que implique $r^2$, sin violar 5, desde la elección de origen de $\textbf{r}$ es arbitrario. El único ganador hasta el momento es $mv^2$, y esto nos hace sospechar que la energía debe ser sin cambios en el tiempo de reversión (no extraño bajo tiempo de reversión, que también sería coherente con el #7).

Con una mezcla de productos de puntos podemos obtener $m\textbf{v}\cdot\textbf{g}$, $m\textbf{g}\cdot\textbf{r}$, y $m\textbf{r}\cdot\textbf{v}$. #7, la energía no puede implicar la adición de términos que cambiar en el tiempo, la inversión y términos que no. Por lo tanto, $m\textbf{g}\cdot\textbf{r}$ es el único de estos que va a estar bien. Este tiene las mismas unidades que $mv^2$, lo cual es consistente con la #3.

Poniendo juntos los dos términos que parecen más interesantes hasta el momento, tenemos algo de la forma $\alpha mv^2+\beta m\textbf{g}\cdot\textbf{r}$. #6, tenemos $\alpha/\beta=-1/2$. Para mantener la coherencia con la arbitraria histórico de la convención, vamos a tomar las $\alpha=1/2$$\beta=-1$.

Habiendo llegado a este punto, ya podemos hacer un montón de física. Podemos predecir con éxito el movimiento de los proyectiles y el comportamiento de las partículas en las colisiones elásticas. Mediante la transformación de un marco a otro (#5), y que requiere de colisiones para conservar la energía en ambos marcos, podemos demostrar que la conservación del momento.

También podríamos crear otros escalares a través de escalar triple productos, pero para mantenerlos a partir de fuga de forma idéntica que tendría que ser de la forma $\textbf{v}\cdot(\textbf{g}\times\textbf{r})$ (o expresiones similares en los que estas tres variables se permutan, pero esos son idénticos a éste a un signo). Pero esto es extraño bajo tiempo de reversión, por lo que no funciona.

Ejemplos como los de $m(\textbf{v}\cdot\textbf{v})(\textbf{v}\cdot\textbf{v})$ violar #3.