Grupos de orden $64$ con grupo abeliano de automorfismo

Question

G. A. Miller construyó en 1913 el primer ejemplo de grupo no abeliano de orden $64$ con grupo abeliano de automorfismos. Es el grupo $$G=(C_8\rtimes C_4)\rtimes C_2=\langle x,y,z\colon x^8, y^4, z^2, yxy^{-1}=x^5, zxz^{-1}=x,zyz^{-1}=y^{-1}\rangle.$$ Al cabo de unos años, se hicieron las siguientes observaciones:

1. No existe ningún grupo no abeliano de orden $<64$ con grupo abeliano de automorfismo.

2. Hay (exactamente) dos grupos no abelianos más de orden $64$ con grupo de automorfismo abeliano.

Pregunta: Cuáles son los otros grupos de orden $64$ con grupo de automorfismo abeliano? En la presentación, donde se diferencia con $G$ ? (Es decir, puede ser un un poco de modificación de $G$ arriba; si es así, ¿cuál es esa modificación?)

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Editar: James señaló el error; hay otros dos grupos no abelianos de orden $64$ , ni uno con grupo de automorfismo abeliano.

Answer 1

Esto no parece ser del todo correcto. Parece que hay tres grupos no abelianos de orden $64$ con grupo de automorfismo abeliano. Ellos son:

SmallGroup( 64, 68 )
SmallGroup( 64, 69 )
SmallGroup( 64, 116 )

El grupo de Miller es el último de estos tres.

EDIT: Suponiendo que no he cometido ningún error de transcripción aquí, una presentación para SmallGroup( 64, 68 ) es

$$\langle x,y,z \mid x^4, z^4, x^2 = y^2, z^2 = [y,x], [y,z], [x, z^2], [y, x^2], [z, x^2], [z,x] = [x^{-1},z] \rangle.$$ Una presentación para SmallGroup( 64, 69 ) es:

$$\langle x,y,z \mid x^4, z^4, y^2 = z^2 x^2, z^2 = [y,x], [z,y], [z,x], [y,[z,x]], [x^2, z], [x^2, y], [z^2, x], [z,x] = [x, z^{-1}]\rangle.$$