Descripciones de series y el axioma de elección

Question

Si nos referimos específicamente no asumir el Axioma de Elección, son todos los conjuntos que nos puede llegar a existir especificado por algunos finito fórmula? (Todos los otros Zermelo-Frankel conjunto de axiomas de la teoría de parecer constructivo para mí, así que quiero decir que sí, pero no estoy seguro.) Si no, ¿cuál es un ejemplo de un conjunto?

Un poco de las preguntas relacionadas con: en una pregunta anterior que yo tenía sobre el Axioma de Elección, algunos de los ms responden menciona la distinción entre una función y una "función, usted puede nombrar". Suponiendo que el Axioma de Elección es, básicamente, suponiendo la existencia de una función que no se puede nombrar; hay ejemplos de innombrable funciones si no suponemos el Axioma de Elección? (De nuevo, quiero decir que no, pero quiero asegurarme.)

Answer 1

Creo que tu primer error es que la teoría ZF es mucho menos constructivas, a continuación, parece. El axioma de elección en particular.

La respuesta a tu primera pregunta es no. Si algo puede ser probado a existir, entonces usted puede escribir una fórmula que define la clase de todos los conjuntos que tiene esta propiedad. A partir de esto, sin embargo, no se puede decir que todo conjunto es definible. Usted puede incluso tener un canónica represntative que siempre se puede utilizar de forma explícita.

Aquí están algunos ejemplos de conjuntos que no podemos demostrar de ZF, o incluso ZF+No de CA:

• Andreas Blass demostrado en [1] que en ZF suponiendo que todo espacio vectorial tiene una base implica el axioma de elección, como resultado si asumimos que el axioma de elección no se sostiene, a continuación, sólo podemos decir que en nuestro universo hay un espacio vectorial sin una base. En realidad no podemos definir, o incluso saber sobre el campo que es.

• Cuando se afirma, el axioma de elección nos dice que cada cardenal es un $\aleph$-número, y hemos definibles por el representante establece para cada una de las $\aleph$. Que hay es una función de la clase $C$ tal que $C(X)=|X|$$C(X)=C(Y)\iff |X|=|Y|$. Tal función puede no ser definible con la ausencia de elección. Sin embargo, puede ser definible en función en el universo. [2, Teorema 11.3]

• Asumiendo el axioma de la elección en sí misma no se sostiene, hay restringido versiones de la misma (y hay muchos) que son independientes el uno del otro, cada uno afirmando la existencia de algunos conjuntos que realmente no se puede definir de otra manera. A menos que se especifique exactamente qué parte del axioma de elección es violado puede haber alguna opción oculta en su universo, y usted no puede demostrar que. [2, Capítulo 8]

• En la continuación de el último ejemplo, de un universo de ZFC es, en particular, de un universo de ZF sin elección. Si sólo se especifica ZF, sin otra suposición de que AC no se sostiene, es posible que el universo es en realidad L, por ejemplo.

En cuanto a la segunda pregunta, a raíz de la primera, tenemos que es sí.

Por ejemplo, tomar amorfo conjuntos. Estos son conjuntos infinitos que no puede ser escrito como un discontinuo de la unión de dos conjuntos infinitos. Su existencia viola el axioma de elección, de una manera muy fuerte, como el axioma de elección implica que todo conjunto infinito puede ser escrito como una discontinuo de la unión de dos partes equinumerous a la serie original.

Supongamos $A$ es un conjunto amorfo. A continuación,$A\in V$, y para algunos $\alpha$ tenemos que $A\in V_\alpha$ ($V_\alpha$ y $V$ son de la jerarquía de von Neumann).

Se puede demostrar que la mínima $\alpha$ es un ordinal sucesor. Por lo tanto, para algunos $\beta$ tenemos $A\in V_{\beta+1}=\mathcal P(V_\beta)$. Esto significa que existe una función parcial de $V_\beta$ bijective con este loco conjunto. Donde se lleva a cabo en la jerarquía? ¿Cómo funciona la función? Nadie lo sabe. No se puede en la primera $\beta=\omega$ los niveles, ya que no todo es definably bien ordenado, pero no podemos decir mucho más que eso.

Por supuesto que el axioma de elección, por definición, afirma que existen funciones que existen y no podemos demostrar su existencia de otra manera. Sin embargo, como anteriormente se muestra, en su ausencia también hay funciones que no podemos describir.

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Bibliografía:

1. Blass A. Existencia de bases implica el axioma de elección, (Axiomático que la Teoría de conjuntos (ed. J. E. Baumgartner, D. A. Martín, S. Sela) Contemp. De matemáticas. 31 (1984) 31-34).

2. Jech T. El Axioma de Elección, North-Holland (1973).

Answer 2

Hay una extraña patología que se produce cuando se mira profundamente a tales preguntas. Esta patología se resume en el lema siguiente:

Si se limitan sólo a las cosas que debe existir, entonces el Axioma de Elección es probablemente cierto.

Este es un lema general y se aplica a muchos contextos, incluso fuera de la teoría de conjuntos. Nota, sin embargo, que es sólo un lema y no como un real teorema.

Antes de entrar en el caso de la teoría de conjuntos, permítanme hablar un poco sobre el análisis constructivo donde esta patología lleva a una forma interesante. En los primeros días de intuitionism, Brouwer introducido un montón de los llamados principios de continuidad. Uno de esos principios puede ser formulada de la siguiente manera. Supongamos $A(f,n)$ es una declaración donde $f$ representa por una función de $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$(es decir, un elemento del espacio de Baire ${}^{\mathbb{N}}\mathbb{N}$) y $n$ representa un elemento de $\mathbb{N}$.

Si $(\forall f \in {}^{\mathbb{N}}\mathbb{N})(\exists n \in \mathbb{N})A(f,n)$, entonces existe una función continua $\nu:{}^{\mathbb{N}}\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que $(\forall f \in {}^{\mathbb{N}}\mathbb{N})A(f,\nu(f))$ mantiene.

Tenga en cuenta que esto es en realidad una variante del Axioma de Elección, excepto que es más fuerte desde el selector $\nu$ que se requiere para ser continua. La mayoría de los sistemas de análisis constructivo satisfacer Brouwer de la continuidad de los principios, y por lo tanto una muy buena forma de que el Axioma de Elección.

Usted puede decir: "Pero esto no tiene sentido! Lo que si $A(f,n)$ es la gráfica de una función discontinua, como la función característica de la singleton $\{f_0\}$ fijos $f_0 \in {}^{\mathbb{N}}\mathbb{N}$?" Bien, esta es la magia de los sistemas constructivos, no se puede probar que $(\forall f \in {}^{\mathbb{N}}\mathbb{N})(f = f_0 \lor f \neq f_0)$ ya que la Ley de Medio Excluido no es constructivo. Por lo tanto, usted no puede demostrar que $(\forall f \in {}^{\mathbb{N}}\mathbb{N})(\exists n \in \mathbb{N})A(f,n)$ para su elección particular de la $A(f,n)$.

Hay una muy sugerente moral aquí:

Es incorrecto decir que el Axioma de Elección es no constructiva! De hecho, algunas formas muy fuertes de que el Axioma de Elección son componentes esenciales de los sistemas de muchas constructivo de las matemáticas.

Nota, sin embargo, que la existencia de sistemas constructivos es muy fuerte. Hay requisitos muy estrictos para ser una colección de conjuntos no vacíos, por lo que no es del todo sorprendente que la elección de las funciones de existir, ya que hay una gran cantidad de información implícita lleno en el constructivas noción de "vacío".

Ahora dejemos esta digresión y volver a la teoría de conjuntos. La primera cosa a hacer es: ¿cuáles son exactamente estos conjuntos que debe existir? (Voy a volver a "comprobable establece" un poco.) Una posible respuesta son los elementos del modelo mínimo de ZF, es decir, el menor nivel de $L_\alpha$ de la edificable jerarquía que satisface ZF. (Tenga en cuenta que $\alpha = \mathrm{Ord}$ es una posibilidad aquí.) Pero, a continuación, $L_\alpha$ es un modelo de $V = L$, por lo tanto, el Axioma de Elección es la verdad! Tal vez esa no es la respuesta que tenía en mente, pero es muy probable que lo mismo sucede con lo que usted cree que establece que debe existir en realidad son...

¿Por qué es esto? Pues bien, hay una receta simple para esto en el caso de la teoría de conjuntos. Establece que debe existir todas las descripciones, ya que es muy difícil justificar la existencia de algo que no se puede ni describir. Mientras que los juegos no pueden ser wellordered, las descripciones de los conjuntos de son, sin duda. Así, en lugar de buscar un determinado conjunto, la búsqueda de una descripción de ese conjunto. Esto generalmente da una muy buena global de la función de elección para el universo que compone sólo de los conjuntos que debe existir (lo que significa).

Pero usted dijo que "establece que podemos probar a existir" mientras sigo divagando sobre "establece que debe existir", ¿por qué? Así, la noción de "comprobable conjuntos" es muy duro para dar sentido y es poco probable que la media de lo que usted piensa. La razón por la que es difícil hacer sentido de esto es que "demostrable" es una noción sintáctica y "conjuntos" es una semántico. Aún así, hay una manera de hacer algo de sentido del comprobable conjuntos. No es fácil, y las respuestas a este MO pregunta realmente llegado a la conclusión de que esto realmente sólo tiene sentido cuando uno asume V = OD, lo que implica el Axioma de Elección por las razones que he explicado anteriormente...