diagrama de ejemplo de pullbacks y productos de fibra

Question

Voy a través de la Categoría de la Teoría de los Científicos. Estoy en la sección 2.5.1 Pullbacks.

Estoy teniendo problemas con la visualización de un pullback.

Anteriormente en el libro, el autor da un buen diagrama de un ejemplo de los productos de conjuntos.

Hay un diagrama similar para co-productos de conjuntos.

¿Hay alguna forma de dibujar un ejemplo de un retroceso o un producto de fibra? O es que hay algún tipo de ejemplo que haría pullbacks y productos de fibra más fácil de entender para alguien que viene de un fondo de programación como contraposición a una experiencia en las matemáticas? O solo estoy pensando en que esta completamente equivocado?

Answer 1

Un pullback como un cierto subconjunto del producto: los pares de $(a,b)$ en el que los dos mapas de coordenadas de acuerdo, es decir,$f(a)=g(b)$.

Esto necesita un ejemplo claro, que voy a construir en la hermosa diagrama que ya tenemos disponible. De modo mapa de $X=\{1,2,3,4,5,6\}\to \{\text{even},\text{odd}\}$ en la forma obvia, y $Y=\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$ diciendo, por ejemplo, los trajes negros $\clubsuit,\spadesuit$ "incluso" y los otros son "impar". A continuación, la retirada se convierte en un subconjunto de a $X\times Y$ dado por los pares de $(n,s)$ donde $n$ $s$ tienen la misma imagen en $\{\text{even},\text{odd}\}$. Es decir, el retroceso ha los doce elementos $\{(1,\heartsuit),(1,\diamondsuit),(3,\heartsuit),...,(5,\diamondsuit),(2,\spadesuit),(2,\clubsuit),...,(6,\clubsuit)\}$. Si esto comienza a tener algún sentido, ver si usted puede calcular

• el pullback de $X$ $Y$ sobre los mapas únicos envío de $X$ $Y$ a un elemento del conjunto
• el pullback sobre el mapa de identidad $i:Y\to Y$ y cualquier mapa de $f:X\to Y$.