He probado eso si $f \in R[a,b]$ y dado $\epsilon > 0$ existe una función continua $g$ %#% $ de #% me preguntaba si usa este hecho hay alguna manera para mostrar que hay también algunos continuo que función $$\int_a^b |f-g| < \epsilon$, que % $ $h$cualquier ayuda será apreciada, gracias :)
Respuestas
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$f$ Es Riemann integrable, limita, decir $|f| \le M$. Ahora, dado $\epsilon>0$ podemos encontrar un continuo $g$ tal que $|g| \le M$ y
$$ \int_a^b |f-g| \, dx < \frac{\epsilon}{2M}$$
Por ejemplo encontrar un % constante $h$que se aproxima a $f$, es decir, $\int |f-h| \, dx < \epsilon/2M$ y establece %#% $ #%
Entonces, con este $$g(x) = \begin{cases} \min(M, h(x)) & h(x) \ge 0 \\\ \max(-M, h(x)) & h(x) < 0\end{cases}$, tenemos
$g$$
Andy
Puntos
21
Nota: en Lugar de utilizar Riemann integrable en el sentido habitual aquí, lo he usado en el sentido convergente de las integrales impropias. Si la discusión se parece más complicado de lo que es necesario, es por eso que.
Usted necesita agregar la condición de que $f^2(x)$ es Riemann integrable. Para ver por qué, considere la función $f(x)=x^{-3/4}$ si $x\in (0,1]$$f(0)=0$. Este es Riemann integrable, pero para cualquier función continua en $[0,1]$ $(f(x)-g(x))^2$ NO será integrable. Así que vamos a añadir esta condición para nuestra discusión.
Si se reemplaza "de Riemann integral" reemplazar con "Lebesgue integral", este resultado es el material estándar en cualquier curso sobre teoría de la medida. Más generalmente, se puede demostrar que las funciones continuas son densos en $L^p([a,b])$, la colección de funciones que son integrables cuando se toman a la $p$th poder. En su caso particular, la integral que está usando es la (plaza de) la distancia en $L^2([a,b])$$f$$h$. Porque Riemann integrable también existen funciones Lebesgue integrable funciones, el resultado de la siguiente manera.
Yo no creo que usted puede probar que el segundo resultado estrictamente desde el primero porque, incluso si $\int_a^b |f(x)-g(x)|dx$ es pequeña, podría ser lugares donde los $|f(x)-g(x)|$ es muy grande, y para la integración de la diferencia al cuadrado podría ser infinita. Usted puede construir un ejemplo utilizando el hecho de que $\sum \frac{n^2}{n^4}<\infty$ pero $\sum \frac{(n^2)^2}{n^4}$ diverge. Desde buenas aproximaciones sin cuadrar, no son necesariamente buenas aproximaciones con el cuadrado, necesitamos ser precisos acerca de cómo usted está haciendo su aproximación.
Si se agrega la hipótesis de que la $f$ es acotado, el nuevo resultado se sigue de la anterior, porque se puede enlazado $\int_a^b |f(x)-g(x)|^2dx<(\max |f-g|)\int_a^b |f(x)-g(x)|dx$
Si quieres ver cómo se hace todo en el caso de la integral de Lebesgue, recomiendo Rudin "Real y el Análisis Complejo". (Me gustaría incluir un enlace a la búsqueda de libros de google, pero el libro no es legible).
