Al $f\colon M\to N\times N$ cumple que $f^{-1}(\Delta)$ es una pelota?

Question

Vamos $M$, $N$ ser suave colectores de dimensión$m+n$$n$, respectivamente.

Supongamos que $f\colon M\to N\times N$ es un buen mapa y $f$ es transversal a la diagonal $\Delta=\{(x,x)\in N\times N\mid x\in N\}$. Por eso, $f^{-1}(\Delta)$ sub-colector de $M$.

Supongamos que $f^{-1}(\Delta)$ es diffeomorphic a la $m$-dimensional en el espacio Euclidiano.

Ahora, mi pregunta es:

En esta situación, existen condiciones en $M$ $N$ que se debe satisfacer?

Answer 1

Otra manera de mirar la pregunta es: cuando una $\mathbb R^m$ embedded si $M$ puede ser representado como $f^{-1}(\Delta)$ para un transversales $f$? Como se ha comentado antes, la incorporación debe ser cerrado (por lo tanto, $M$ no es compacto). Veamos primero el caso de $N=\mathbb R^n$.

Prop.1 Un submanifold $X\subset M$ diffeomorphic a $\mathbb R^m$ que es de la forma $ \ f^{-1}(\Delta)\ $ algunos $f:M\to\mathbb R^n\times\mathbb R^n$ debe ser una completa intersección en $M$.

Prueba: Tome $\delta:\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to\mathbb R^n:(x,y)\mapsto x-y$ y definen $F=(F_1,\dots,F_n)=\delta\circ f:M\to\mathbb R^n$. Esta $F$ es transversal a $0$ e las $F_i$'s son los regulares de ecuaciones que $X$ un completo intersección.$\ \square$

Por el contrario:

Prop.2 Deje $X\subset M$ ser un completo intersección de codimension $n$ diffeomorphic a $\mathbb R^m$. A continuación, para cada colector $N$ de la dimensión de $n$ hay $\ f:M\to N\times N$ transversal a $\Delta$$X=f^{-1}(\Delta)$.

Prueba: Vamos a $X$ completa a través de la intersección $F:M\to\mathbb R^n$. Definir $g:M\to\mathbb R^n\times\mathbb R^n$$g(x)=(0,F(x))$. A continuación, $g$ es transversal a la diagonal $D\subset\mathbb R^n\times\mathbb R^n$$g^{-1}(D)=F^{-1}(0)=X$. Ahora elija cualquiera de abrir la incrustación $h:\mathbb R^n\to N$, la cual existe por $n=\dim (N)$, y definir $f=h\circ g$. Esta $f$ resuelve el problema.$\ \square$

Podemos ver así cómo completar las intersecciones de jugar aquí. Ahora este es un profundo y difícil tema en topología diferencial. Una primera propiedad de completar las intersecciones es que su paquete normal es trivial, pero hay submanifolds con trivial normal bundle, que no están completas las intersecciones. Akbulut-Rey encontró un exótico 16-esfera en $\mathbb R^{30}$ con trivial normal paquete que no es un completo intersección. En nuestro caso, la submanifold es una $\mathbb R^n$, y su normal paquete es trivial debido a que $\mathbb R^n$ es simplemente conectado. Podemos conseguir algo de esto:

Prop.3 Deje $X\subset M$ ser un cerrado submanifold de codimension $n$ diffeomorphic a $\mathbb R^n$. Entonces existe un mapa de $f:M\to\mathbb S^n\times \mathbb S^n$ transversal a $\Delta$$X=f^{-1}(\Delta)$.

Prueba: Desde la normal paquete de $X$ $M$ es trivial, nos encontramos con un tubular abierta vecindario $U$: tenemos un diffeomorphism $\alpha:U\to\mathbb R^m\times\mathbb R^n$. Deje $B$ $\overline B$ denotar el abierto y el cerrado de las bolas de radio $1$ centrada en el origen. Desde $X$ es cerrado en $M$ podemos arreglar las cosas para que $g^{-1}(\mathbb R^m\times\overline B)$ es cerrado en $M$. Por lo tanto $V=g^{-1}(\mathbb R^m\times B)$ es otro abierto barrio de $X$,$\overline V=g^{-1}(\mathbb R^m\times\overline B)\subset U$. Ahora consideramos dos asignaciones:

(i) $\varphi:\mathbb R^n\to\mathbb S^n$, la inversa de la proyección estereográfica desde el polo norte $a$, el cual se asigna el origen hasta el polo sur $-a$. Tenga en cuenta que los mapas de open de bola de $B$ a la parte inferior abierta hemisferio.

(ii) $g:\mathbb S^n\to\mathbb S^n$, que se derrumba la parte superior cerrada hemisferio $H$ sobre el polo norte: $g(H_+)\equiv a$ y restringe a un diffeomorphism $\mathbb S^n\setminus H\to\mathbb S^n\setminus\{a\}$.

Con ellas en la mano, vamos a $\pi:\mathbb R^m\times\mathbb R^n\to\mathbb R^n\times\mathbb R^n:(x,y\mapsto (0,y)$: $$ f=(g\times g)\circ(\varphi\times\varphi)\circ\pi\circ\alpha:U\a\mathbb S^n\times\mathbb S^n $$ Uno comprueba que esta $f$ es transversal a $\Delta\subset\mathbb S^n\times\mathbb S^n$$f^{-1}(\Delta)=X$. Así es extender $f$$M$. Pero la construcción se da en el hecho de que $f^{-1}(\Delta)=f^{-1}(-a,-a)$$f\equiv (a,a)$$U\setminus\overline V$. Por consiguiente, podemos extender $f$ ser el valor de la constante $(a,a)$, y esto lo mantiene todas las propiedades requeridas. $\square$

Esto está lejos de una respuesta completa, pero tengo la esperanza de que da una idea sobre la naturaleza del problema.