una inyección en $\mathbb{N}$

Question

¿Es cierto que el mapa $f\colon \{(m,n)\in\mathbb N^2:m\le n\}\to\mathbb N$ definido por $(m,n)\mapsto (m+n)^{\max\{m,n\}}$ ¿es una inyección? Si lo es, ¿cómo probarlo? He preguntado algo similar pregunta pero parecía ser muy fácil. Mi lucha original en la pregunta anterior fue que asumí que $m\leq n$ en lugar de comprobar las razones fáciles para que el mapa no sea inyectivo.

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $f(m,n)=f(m',n')$ es decir $(m+n)^n=(m'+n')^{n'}$ . Si $n=n'$ obtenemos $m'=m$ por lo que hay que suponer, sin pérdida de generalidad, que $n<n'$ . Si $m+n\le m'+n'$ entonces $$(m+n)^{\max(m,n)}=(m+n)^n< (m+n)^{n'}\le (m'+n')^{n'}=(m'+n')^{\max(m',n')}$$ así que $f(m,n)\neq f(m',n')$ . Por lo tanto, podemos concluir $m+n>m'+n'$ .

Escribe $a=m+n, b=m'+n'$ con $a^{n}=b^{n'}$ , un número entero que se supone mayor que 1. Para cualquier primo $p$ dividiendo ambos $a,b$ tenemos $n\nu_p(a)=n'\nu_p(b)$ Así que $\nu_p(a)>\nu_p(b)$ . Por lo tanto, $b|a$ y como son desiguales $a\ge 2b$ o $$m+n\ge 2(m'+n')$$

Por otra parte, dado que $m\le n<n'$ tenemos $$(m+n)^n<(2(m'+n'))^n$$

Editar: $\nu_p(x)$ denota el valoración es decir, el número máximo de $p$ que dividen a los enteros $x$ .

Answer 2

$$(2n)^n-(n+2)^{(n+1)}>0.$$

...

para $n$ grandes (partiendo de no tan grandes).