¿Cuál es el significado de $1/(D+a)$ donde $D$ es el operador de la derivada?

Question

Hoy he leído la respuesta a este post, en el que el cartel se integra a la $x^5e^x$ haciendo estas manipulaciones con el operador diferencial $D$: $$\frac1Dx^5e^x=e^x\frac{1}{1+D}x^5=e^x(1-D+D^2+...)x^5$$

lo que me sorprendió, pero sin embargo, sospechoso de. Después de leer un poco sobre los operadores diferenciales, conozco a un par de propiedades. Por ejemplo, $D+a$ (donde $a$ es constante) es un polinomio diferencial operador que viene de la ecuación diferencial $y'+ay = q(x)$. También, para los polinomios de $f$ y $g$, $f(x)\cdot g(x)=h(x)$ implica $h(D)u=f(D) \circ [g(D)u]$ $u$ siendo una función y $f(D), g(D), h(D)$ siendo el polinomio de operadores diferenciales. Desde $(1+x) \cdot \frac1{1+x} = 1$, yo sé que si aplicamos el operador $(1+D)$ a alguna función, $\frac{1}{1+D}$ invertir de nuevo a la función original.

Sin embargo, esto todavía no me ayuda hacer sentido de que el significado de $\frac{1}{1+D}$. Por ejemplo:

1. Si $1+D$ proviene de la ecuación diferencial $y'+ay+q$, donde no $\frac{1}{1+D}$? En otras palabras, si $(1+D)y = 1\cdot y + Dy = y' + y$, ¿cómo calculamos el $\frac{1}{1+D}y$? (Es posible, y cómo se relaciona con la integración?)
2. ¿Cómo podemos justificar el poder de la serie de la operadora? ¿Cómo sabemos que no hay convergencia?

Answer 1

$\frac1{1+D}$ es el inverso multiplicativo de a $1+D$. En el anillo de poder formal de la serie en un indeterminado $A$ más de una integral de dominio, el inverso multiplicativo de a $1+A$ es $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^nA^n$$ Usted puede convencerse de que esto es cierto simplemente multiplicando. Cuando consideramos el poder formal de la serie, no hay necesidad de preocuparse acerca de la convergencia.

Cuando realmente nos aplicar el operador diferencial, la convergencia se convierte en un problema, pero siempre que la suma converge siempre da la respuesta correcta; esto se deduce de la continuidad de la operación de adición.

Observe que el operador se aplica a un polinomio. Finalmente, cada una de las sucesivas derivadas se convierte en cero, así que realmente sólo hay un número finito de términos en la suma. Así, la manipulación es válida en este caso. Es cierto que hay casos donde no es así; por ejemplo, la aplicación de este operador a $\sin(nx)$ $n>1$ no tiene mucho sentido.

Answer 2

Es probablemente la mejor manera de ver como "sólo sugerente notación que no tiene derecho a trabajar" y, a continuación, justifica por el hecho de que el resultado final puede ser verificado para ser correcta sin hacer tales cosas dudosas.

Si uno realmente quería dar la manipulación de algunos existencia formal, uno probablemente haría algo como tomar la sub-anillo de la álgebra de operadores generado por $D$, señalando que es conmutativa (en contraste con la totalidad del álgebra de operadores), la extendemos en un anillo de poder formal de la serie en $D$, teniendo en el campo de las fracciones más de que, bla bla bla ...

Asegurarse de que todos los que me están punteadas y t se cruzan en el camino va a ser mucho más trabajo que simplemente encogerse y considerar la posibilidad de que todo sea un heurístico, produciendo un posible resultado que necesita ser comprobado correctamente después.