Una buena variedad sin un modelo suave

Question

Hay un ejemplo simple de un suave adecuado variedad $X$ más de $K=\mathbb{Q}_p$ ($p$ prime) tales que

--- $X(K)\neq\emptyset$,

--- el $l$-ádico étale cohomology $H^i(X\times_K\bar K,\mathbb{Q}_l)$ es unramified para cada prime $l\neq p$ y cada una de las $i\in\mathbb{N}$,

--- el $p$-ádico étale cohomology $H^i(X\times_K\bar K,\mathbb{Q}_p)$ es cristalino para cada $i\in\mathbb{N}$,

y, sin embargo,

--- $X$ no es el genérico de la fibra de cualquier suave adecuado $\mathbb{Z}_p$-esquema ?

Mi ejemplo de un Castillete de la superficie con estas propiedades es bastante simple, pero se puede hacer mejor ?

Answer 1

Como Minhyong sugiere, una curva de $C$ ( $C(\mathbb{Q}_p)\neq0$ ) que tiene de malo, pero la reducción de cuyo jacobiano $J$ tiene buena reducción haría el asunto. Esto funciona porque la cohomology de $C$ es esencialmente el mismo que el de $J$, y debido a un abelian $\mathbb{Q}_p$-variedad tiene una buena reducción de la si y sólo si su $l$-ádico étale cohomology es unramified para algunos (y de ahí para todos) prime $l\neq p$ (Néron-Ogg-Shafarevich) o su $p$-ádico étale cohomology es cristalina (Fontaine-Coleman-Iovita).

Me preguntó Qing Liu explícita de ejemplos. Sugirió que la curva de $$ y^2=(x^3+1)(x^3+ap^6)\qquad (a\in\mathbb{Z}_p^\times) $$ al $p\neq2,3$, e $y^2=(x^3+x+1)(x^3+a3^4x+b3^6)$,$a,b\in\mathbb{Z}_3^\times$$p=3$.

Él se refiere a la Proposición 10.3.44 en su libro para el cálculo de la reducción estable de estos $C$, y para Bosch-Lütkebohmert-Raynaud, Néron modelos, Capítulo 9, para mostrar que $J$ tiene buena reducción.

I "aceptar" esta respuesta como la que proviene de Minhyong Kim y Qing Liu.

Answer 2

Chandan, me puede decir los números de los teoremas en Bosch-Lütkebohmert-Raynaud?