Definición de étale para los anillos

Question

Deje $A \to B$ ser un anillo de extensión.

¿Cuál es la definición de $B/A$ étale ?

Al $A$ es un campo, podemos obtener una buena caracterización ?

Answer 1

Aparentemente $B$ debe ser finitely generado como un anillo de más de $A$ y ser un piso $A$-módulo y el módulo de Kaehler diferenciales de $B$ $A$ debe desaparecer. Al $A$ es un campo, la caracterización es que $B$ debe ser de un número finito de suma directa de finito separables campo extensiones de $A$.

Answer 2

Que debe ser leído "B es etale más de Una". Esto sucede cuando el mapa de a->B es un etale anillo mapa, lo que significa que su doble mapa es una etale de morfismos de afín schems de SpecB->SpecA, que se define:

http://en.wikipedia.org/wiki/Etale_morphism

Como con la mayoría de las cosas en el anillo de la teoría, esta condición es algo más trivial cuando Una es un campo. Tenemos planitud, ya que el único tallo de specA es Un (spec Una tiene un punto), que es un campo, por lo que todos sus módulos son libres, y por lo tanto plana. Unramifiedness no siempre se mantienen, pero también es mucho más fácil debido a que k es un campo. Si k es de característica cero, la extensión es automáticamente separables, por lo que, a continuación, sólo tenemos que restringir a un ser finito.

Hay una definición que dice que los morfismos A->B es un suave anillo de mapa con relativa dimensión cero.

Si quieres leer una sección sobre ellos con más generalidad, usted puede comprobar fuera de Pilas-Git Capítulo 7 sección 85 (7.85) en la página 366 .

http://www.math.columbia.edu/algebraic_geometry/stacks-git/

Estoy seguro de que también en Hartshorne.

Answer 3

Si f es un mapa de los locales de los anillos $$f:A\rightarrow B$$ es étale iff es plana y unramified (echa un vistazo a Bhargav Bhatt notas en las pilas proyecto de texto del enlace). Si a es un campo y B es finito sobre A, entonces f es étale iff B es isomorfo a un producto finito de campo extensiones separables de Una (véase la proposición I. 3.1 de Milne del libro "Étale cohomology"). De manera más general, para f cualquier anillo homomorphism, echa un vistazo definición II.1.1 de SGA 4.5 (B) es una finitely presentó Una-álgebra y satisface un criterio Jacobiano es una definición posible. O B es un finitely presentó Una-álgebra y B es plano y la relación de los diferenciales son triviales). La definición viene a la "disminución de la relación de dimensión 0".

Answer 4

Dicen que un anillo de homomorphism $\phi: A \to B$ es étale (resp. suave, unramified), o que $B$ es étale (resp. suave, unramified) $A$ es la siguiente se cumplan dos condiciones:

• $A \to B$ es formalmente étale (resp. formalmente liso, formalmente unramified): por cada plaza de cero extensión de $A$-álgebras $R' \to R$ (lo que significa que el kernel $I$ satisface $I^2 = 0$) los naturales de mapa de $$\mathrm{Hom}_A(B, R') \to \mathrm{Hom}_{A}(B, R)$$ es bijective (resp. surjective, inyectiva).
• $B$ es esentially finito de presentación más $A$: $A \to B$ factores como $A \to C \to B$ donde $A \to C$ es de finito de presentación y $C \to B$ $C$- isomorfo a una localización de morfismos $C \to S^{-1}C$ para algunos multiplicatively cerrado subconjunto $S \subset C$.

La segunda condición es sólo una condición de finitud; la carne del concepto está en la primera. Formal suavidad se refiere a menudo como el infinitesimal de elevación de la propiedad. Geométricamente hablando, se dice que si el esquema afín $\mathrm{Spec}B$ es suave sobre la $\mathrm{Spec}A$, entonces cualquier mapa de $\mathrm{Spec}B$ $\mathrm{Spec}R$ascensores de cualquier plaza de cero (y por lo tanto cualquier infinitesimal) deformación $\mathrm{Spec}R'$. Por otra parte, si $\mathrm{Spec}B$ es étale $\mathrm{Spec}A$ este levantamiento es único.

Diferencial-geométricamente, unramifiedness, suavidad y étaleness corresponden a la tangente del mapa de $\mathrm{Spec}\phi$ ser inyectiva, surjective y bijective, respectivamente. En particular, étale es la generalización de la algebraicas caso del concepto de local de isomorfismo.

Hay dos referencias que usted puede consultar. La primera, en la que se puede leer todo acerca de las propiedades formales de estos morfismos, es Iversen "Genérico de la Estructura Local en Álgebra Conmutativa". El segundo, Hartshorne la "Deformación de la Teoría", le dará una gran cantidad de información acerca de la geometría; la sección 4 del capítulo 1 (disponible en línea) habla acerca de lo infinitesimal de elevación de la propiedad.

EDIT: La EGA definición de étale de morfismos de anillos es ligeramente diferente de la anterior, en el sentido de que requiere finito de presentación, no sólo localmente finito de presentación: ver los comentarios de abajo.