Calcular las soluciones reales $x\in\mathbb{R}$ a
$$ \sqrt{5-x} = 5-x^2 $$
Mi Intento:
Sabemos que $5-x\geq 0$ e lo $x\leq 5$ y
$$ \begin{align} 5-x^2&\geq 0\\ x^2-\left(\sqrt{5}\right)^2&\leq 0 \end{align} $$
lo que implica que $-\sqrt{5}\leq x \leq \sqrt{5}$. Ahora vamos a $y=\sqrt{5-x}$. Entonces
$$ \tag1 y^2=5-x $$
y la ecuación se convierte en
$$ \begin{align} y &= 5-x^2\\ x^2 &= 5-y\\ y^2-x^2 &= 5-x-(5-y)\\ y^2-x^2 &= y-x\\ (y-x)(y+x)-(y-x) &= 0\\ (y-x)(y+x-1) &= 0 \end{align} $$
Así que o $y=x$ o $x+y=1$.
Caso 1 ($y=x$):
Podemos conectarlo en $(1)$ para obtener
$$ \begin{align} y^2 &= 5-x\\ x^2 &= 5-x\\ x^2+x-5 &= 0\\ x &= \frac{-1\pm \sqrt{1+20}}{2} \end{align} $$
Desde $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$, la única solución es
$$ x = \frac{-1+\sqrt{21}}{2} $$
Caso 2 ($y=1-x$):
Podemos conectarlo en $(1)$ para obtener
$$ \begin{align} y^2 &= 5-x\\ (1-x)^2 &= 5-x\\ 1+x^2-2x &= 5-x\\ x^2-x-4 &= 0\\ x &= \frac{1\pm\sqrt{17}}{2} \end{align} $$
Desde $-\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}$, la única solución es
$$ x = \frac{1-\sqrt{17}}{2} $$
Así que la solución final es
$$ x \in \left\{\displaystyle \frac{1-\sqrt{17}}{2}, \frac{-1+\sqrt{21}}{2} \right\} $$
Es posible resolver este problema usando la geometría? Por ejemplo, podemos utilizar las propiedades de la mitad de un círculo y una parábola?
