Demostrando una cota superior para Prob[X>=E[X]]

Question

Vamos variable aleatoria $X\sim\text{Binomial}\left(a+b,\frac{a}{a+b}\right)$ donde $a$ $b$ son enteros positivos.

Estoy tratando de demostrar que $\mathbb{P}[X\geq\mathbb{E}[X]]\leq\frac{3}{4}$, lo cual parece ser cierto numéricamente.

¿Alguien tiene una sugerencia sobre cómo proceder? La complicación en este problema en particular es que la condición no es una desigualdad estricta "$>$". He probado el Chernoff, vinculado, pero no es lo suficientemente apretado.

Answer 1

Aquí hay una respuesta dando el contorno de una prueba.

El Atado es apretado

Si el obligado es cierto, entonces es ajustado: Si $a=1$, $b=1$ entonces

$\mathbb{P}[X\geq \mathbb{E}[x]] = \mathbb{P}[X\geq 1] =1-\mathbb{P}[X=0] = 1-\frac{1}{2}\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

Conseguir una sensación para el problema

Como regla general (aunque pueden ser hechos precisos) si $a>5$$b>5$, entonces podemos aproximar la Binomial por la normal de la variable aleatoria por el teorema del límite central. Que es $X\sim N(a,Var(X))$ aproximadamente. El error de esta aproximación se hace cada vez más pequeño como $a$ $b$ de aumento.

Por lo tanto $\mathbb{P}[X\geq \mathbb{E}[x]] \approx \frac{1}{2}<\frac{3}{4}$ $a>5$ $b>5$

Para hacer precisa, en primer lugar, leer esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Normal_approximation

y luego: Box, Hunter y Hunter (1978). Estadísticas de los experimentadores. Wiley. p. 130

Nos quedamos con tres casos: a y b, tanto de pequeño como de gran y pequeño b, la b grande y una pequeña.

$b$ grandes y $a\leq 5$

Si $b+a>100$, a continuación, una aproximación de poisson a la Binomial r.v. se convierte en appealling. Que es $X\sim Po(a)$ aproximadamente.

A continuación, $\mathbb{P}(X\geq a)=1-\sum_{i=0}^{a-1}\frac{e^{-a}a^i}{i!}\leq 0.63<\frac{3}{4}$

Para explícita de error límites buscar en Un obligado en la distribución de Poisson-binomio error relativo por Teerapabolarn (2007). Teorema 2.1 contiene un buen error de enlazado.

$b\leq 5$ $a$ grandes

Deje $Y=a+b-X\sim \text{Bin}(a+b,\frac{b}{a+b})$ ahora si $b+a>100$ $Y$ es aproximadamente de Poisson y

$\mathbb{P}(X\geq a)\approx\mathbb{P}(Y\leq b) <0.45 \leq \frac{3}{4}$

Resto de los casos

Tenga en cuenta que los casos anteriores no son mutuamente excluyentes, pero hay un número finito de casos de la izquierda. Los casos de la izquierda son

1) $a\leq 5$ $b\leq 100$

2) $b\leq 5$ $a\leq 100$

Y esto puede comprobarse en un equipo. Para dar el obligado.