Irreductibilidad $\mathbb F_p$ - Un inútil sugerencia?

Question

Dummit y Foote, 13.5.5:

Para cualquier prime $p$ y un valor distinto de cero $a \in \mathbb F_p$ demostrar que $x^p-x+a$ es irreductible y separables $\mathbb F_p$

La pregunta va a sugerir dos enfoques para probar la irreductibilidad (divisibilidad de la siguiente manera):
1. Demostrar primero que si $\alpha$ es una raíz, a continuación, $\alpha + 1$ es también una raíz.
2. Supongo que es reducible y calcular los derivados.

Ahora he resuelto el problema con la primera pista, pero sólo después de intentar durante horas para encontrar la contradicción dada por el segundo enfoque (soy terco). Realmente me gustaría ver si es posible obtener la irreductibilidad por ese enfoque. Tenga en cuenta que la derivada de aquí es el algebraicas definición en lugar de la analítica de la noción.

De inmediato vemos desde el segundo enfoque, que asumiendo $f(x)=x^p-x+a = g(x)h(x)$ y tomando los derivados en cada lado de la $D_xf(x)= g(x)D_xh(x)+(D_xg(x))h(x)=px^{p-1} -1=-1$

He tratado de comparar los coeficientes de cada lado del vano.

Answer 1

Para lo que vale, estoy de acuerdo con usted: el derivado de ser $-1$ es obviamente relevante para separar, sino para irreductibilidad, no tanto. Pero el primer indicio es todo lo que se necesita para irreductibilidad, de todos modos, así que probablemente es sólo algún tipo de error tipográfico---que la intención de la segunda pista para solicitar la separación.