Rotación de $\mathbb{R}^3$ usando cuaterniones

Question

Expresar la rotación de $\mathbb{R}^3$ $\frac{\pi}{3}$ sobre el $x=y=z$ eje usando cuaterniones y la identificación de $\mathbb{R}^3$ $(i,j,k)$- espacio.

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Pensamientos:

Desde mi punto de vista, cada punto en $(i,j,k)$-espacio es un vector. Poner el vector en $\mathbb{H}$ va a obtener la parte real de cuaterniones $=0$

Deje $\theta$ ser el ángulo de rotación en $(i,j,k)$-el espacio sobre el eje $li+mj+nk$ coresponds a una parte de cuaterniones $\pm{q}$

$q=\cos{\frac{\theta}{2}} + (li+mj +nk) \sin{\frac{\theta}{2}}$

$\cos{\frac{\theta}{2}} = \cos{\frac{\frac{\pi}{3}}{2}} =\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt3}{2}$

$\sin{\frac{\theta}{2}} = \sin{\frac{\frac{\pi}{3}}{2}} =\sin{\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}$

$q=\frac{\sqrt3}{2} + \frac{1}{2} \hat{n}$

deje $q\in\mathbb{H}$, se obtiene pura de cuaterniones $w=qvq^*$..

$|w|= |qvq^*|=|q||v||q^*|=|v|$....¿cómo debo seguir???

Answer 1

En su cálculo, $\hat n$ es la normalizado y correctamente orientado vector que abarca el eje pf rotación. Así que en tu caso, tienes

\begin{align*} n &= \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} & \hat n=\frac n{\lVert n\rVert}&=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{align*}

y de que usted consigue

$$q = \frac{\sqrt3}2 + \frac1{2\sqrt3}(i+j+k)$$.

Usted puede comprobar que es un giro de cheques

$$qq^* = \frac34 + \frac3{12} = \frac44 = 1$$

A continuación, $v\mapsto w=qvq^*$ es la rotación descrita por $q$.