Integral de cocientes de $\sin$ función

Question

Intento calcular la integral definida $$\int_0^\pi \frac{\sin(\frac{21}{2}x)}{\sin(\frac{1}{2}x)} dx.$$ Wolfram Alpha dice aquí que la respuesta es $\pi$ . He sustituido 21 por otras constantes y creo que en general, $\int_0^\pi \frac{\sin(\frac{n}{2}x)}{\sin(\frac{1}{2}x)} dx = \pi$ para todos los impar $n \in \mathbb Z$ .

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo abordar este problema. He intentado sustituir $u = x/2$ para simplificar un poco la integral a $$2\int_0^{\pi/2} \frac{\sin(nu)}{\sin(u)}.$$ Entonces pensé que tal vez podría utilizar la identidad $\sin(nx) = \sin(x)\cos( (n-1)x) + \sin((n-1)x)\cos(x)$ . Por ejemplo, dado que \begin{align*} \sin(3x) &= \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x) \\ &= 2\sin(x) \cos^2(x) + \cos^2(x)\sin(x) - \sin^3(x) \\ &= \sin(x)(3\cos^2(x) - \sin^2(x)) \end{align*} la integral pasaría a ser $$ 2\int_0^{\pi/2} 3\cos^2(x) -\sin^2(x) dx $$ que soy capaz de resolver: \begin{align*} 2\int_0^{\pi/2} 3\cos^2(x) -\sin^2(x) dx &= 2[\frac{3}{2}(x+\sin(x)\cos(x)) - \frac{1}{2}(x - \sin(x)\cos(x))]^{\pi/2}_0 \\ &= [2x + 4\sin(x)\cos(x)]^{\pi/2}_0 \\ &= \pi. \end{align*} Sin embargo, no sé cómo generalizar este enfoque porque la expansión para $\sin(21x)$ tendría un montón de términos poco manejables. ¿Hay alguna otra forma de resolver este problema que se me haya escapado?

Answer 1

Considera, desde donde lo dejaste, $$I_n=2\int\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} d\theta, $$ donde $n$ es impar. Tomando nota de que $$\frac {\sin n\theta-\sin(n-2)\theta}{\sin\theta}=2\cos(n-1)\theta, $$

Tenemos $$I_n=I_{n-2}+4\int^{\frac{\pi}{2}}_0\cos(n-1)\theta d\theta$$ $$=I_{n-2}+0$$ desde $n-1$ es par.

Por lo tanto $$I_n=I_{n-2}=...=I_1$$ y el valor de es última integral es $\pi$

Answer 2

Esta es exactamente la forma cerrada del Núcleo de Dirichlet cuando N = 10.

$\sum _{n=-N}^{N} $ $e^{-inx}$ = $\frac{sin(\frac{(2N+1)x}{2})}{sin(\frac{x}{2})}$

Integrando la serie término a término, los términos con valores positivos de n anularán a los términos con valores negativos, y el valor de la integral cuando $n=0$ est $ \int_0 ^\pi e^{0ix} = \pi $ Así pues $ \int _0 ^{\pi} \frac{sin(\frac{(2N+1)x}{2})}{sin(\frac{x}{2})} dx = \pi $ para cualquier valor entero de N.