Cuándo podemos decir que un grupo multiplicativo de los números enteros modulo $n$, es decir, $U_n$ a ser cíclica?
$$U_n=\{a \in\mathbb Z_n \mid \gcd(a,n)=1 \}$$
He buscado en internet pero no logro idea clara.
Respuestas
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Por lo $U_n$ es el grupo de unidades en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Escribir el primer descomposición $$ n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_1^{\alpha_1}. $$
Por el teorema del resto Chino $$ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/p_1^{\alpha_1}\mathbb{Z}\times\ldots\times\mathbb{Z}/p_r^{\alpha_r}\mathbb{Z} $$ así $$ U_n=U_{p_1^{\alpha_1}}\times\ldots\times U_{p_r^{\alpha_r}}. $$
Por los poderes de $2$, tenemos $$ U_2=\{0\} $$ y para $k\geq 2$ $$ U_{2^k}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2^{k-2}\mathbb{Z}. $$
Para impares primos $p$, $$ U_{p^\alpha}=\mathbb{Z}/\phi(p^\alpha)\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/p^{\alpha-1}(p-1)\mathbb{Z}. $$
Así que ahora a ver que $U_n$ es cíclico si y sólo si $$ n=2,4,p^\alpha,2p^{\alpha} $$ donde $p$ es una extraña prime.
Aquí es una referencia.
lhf
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$U_n$ es cíclico iff $n$ es $2$, $4$, $p^k$, o $2p^k$ donde $p$ es una extraña prime.
La prueba se sigue del Teorema del Resto Chino para los anillos y el hecho de que $C_m \times C_n$ es cíclico iff $(m,n)=1$ (aquí se $C_n$ es el grupo cíclico de orden $n$).
La parte difícil es probar que $U_p$ es cíclica y de esto se deduce del hecho de que $\mathbb Z/p$ es un campo y que $n = \sum_{d\mid n} \phi(d)$.
Cualquier libro elemental de la teoría de los números tiene una prueba de este teorema. Véase, por ejemplo, André Weil de la teoría de números para los principiantes, Leveque los Fundamentos de la Teoría de números, y Bolker del Elementales de la Teoría de números.
