La desigualdad de $\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{3}{2}$

Question

Estoy tratando de demostrar esto a través de la inducción: $$\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}<\frac{3}{2}, \quad n\geq1. $$ Me quedé atrapado en el paso inductivo: $$\frac{3}{2} +\frac{1}{(n+1)^3}\,\ldots$$ Gracias por su ayuda!

Answer 1

Se puede utilizar para $n\geq 2$, $$\dfrac{1}{n^3} \leq \dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$$