¿Es toda curva biracional a una curva plana afín suave?

Question

¿Es cada curva sobre $\mathbf{C}$ biracional a una curva plana afín suave?

Bonnie Huggins me hizo esta pregunta allá por 2003, pero ni yo ni las pocas personas a las que se la transmití fuimos capaces de responderla. Es cierto al menos hasta el género 5.

Answer 1

Sí. Aquí hay una prueba.

Es clásico que toda curva es birracional a una suave que a su vez es birracional a una curva cerrada $X$ en $\mathbb{C}^2$ con casi el doble de puntos. Ahora mi estrategia es elegir coordenadas tales que por un automorfismo de $\mathbb{C}^2$ todos los puntos singulares se encuentran en $y$ -eje que evita el origen. Ahora el mapa $(x,y)\rightarrow(x,xy)$ de $\mathbb{C}^2$ a sí mismo hará el truco de incrustar la parte lisa de $X$ de forma cerrada. A continuación figuran los detalles.

Lo único que tenemos que demostrar es que el lugar liso de una curva cerrada $X\in\mathbb{C}^2$ con sólo puntos dobles puede volver a incrustarse en el plano como una curva cerrada.

Paso 1. Sea $S$ sea el conjunto de puntos singulares de $X$ . Elija las coordenadas en $\mathbb{C}^2$ tal que la proyección de $X$ en ambos ejes da incrustaciones de $S$ . Llamamos proyección de $S$ en el $y$ -eje como $S'$ . Deslizando el $x$ -eje un poco podemos asegurarnos de que $S'$ no contiene el origen del plano. Ahora afirmo que existe un automorfismo de $\mathbb{C}^2$ que lleva $S$ a $S'$ . Esto es fácil de construir mediante un argumento del tipo del resto chino: Existe un isomorfismo de los anillos de coordenadas de $S$ y $S'$ y necesitamos elevar esto a un isomorfismo de $\mathbb{C}[x,y]$ . Lo ilustraré con un ejemplo en el que # $\{S\}=3$ . Sea $(a_i,b_i)$ sean los puntos en $S$ . Entonces existe una función $h(y)$ tal que $h|S'=x|S$ como funciones restringidas a los conjuntos $S$ y $S'$ . He aquí una receta: $h(y)=c_1(\frac{y}{b_2}-b_2)(\frac{y}{b_3}-b_3)(y-b_1+1)+\dots$ donde $c_1=a_1(\frac{b_1}{b_2}-b_2)^{-1}(\frac{b_1}{b_3}-b_3)^{-1}$ etc.

Mira el mapa $\phi:(x,y)\rightarrow(x-h(y),y)$ en $\mathbb{C}^2$ . Es claramente un automorfismo y toma el conjunto $S$ a $S'$ .

Segundo paso. Consideremos ahora el mapa $\psi:(x,y)\rightarrow(x,xy)$ del plano afín a sí mismo. Es fácil comprobar que $\psi^{-1}\circ\phi:X-S\rightarrow\mathbb{C}^2$ es una incrustación cerrada.