Definición de la principal símbolo de un operador diferencial en un verdadero vector de paquete.

Question

Estoy tratando de comprender la construcción del operador de dirac en un colector, pero en realidad supongo que en realidad no importa para la cuestión en juego. Estoy interesado en la comprensión de una definición de la principal símbolo. Específicamente, En Lawson y Michelsohn Giro de la Geometría de la página 113 dice:

"Racall que el principal símbolo de un operador diferencial $D:\Gamma (E) \to \Gamma (E)$ es un mapa que asocia a cada punto de $x \in X $ y cada cotangente de vectores $\xi \in T^*_x(X)$, una lineal mapa de $\sigma _{\xi}(D):E_x \to E_x$ define de la siguiente manera. Si en coordenadas locales tenemos $$ D=\sum_{|\alpha|\leq m}A_{\alpha}(x)\frac{\partial ^{|\alpha|}}{\partial x^{\alpha}} \text{ and } \xi=\sum_k \xi_k dx_k$$ where m is the order of $D$, entonces $$\sigma_{\xi}(D) = i^m \sum_{|\alpha|= m} A_{\alpha}(x)\xi^{\alpha}."$$ Después de ir a algún otro capítulo de saber que $E$ es un vector complejo paquete de más de $X$, un colector de riemann, con un local de la trivialización $E|_U\to U \times \mathbb{C}^q$ $A_{\alpha}(x)$ $q\times q$- matriz de suave valores complejos de funciones.

Así que la pregunta que tengo es si uno está trabajando con verdadero vector de paquetes de cómo se definen el principal símbolo. Quiero decir, si ahora uno tiene que $A_{\alpha}(x)$ $q\times q$- matriz de lisa real de las funciones con valores, ¿cómo se puede definir el lineal mapa de $\sigma _{\xi}(D):E_x \to E_x$, debido a que acaba de tomar el "$i^m$" factor de descuento a partir de la definición parece bastante arbitrario. Cualquier aclaración es muy apreciado!

Answer 1

Deje $E\rightarrow M$ $F\rightarrow M$ ser vector de paquetes con espacios de $\Gamma(E)$ $\Gamma(F)$ de secciones suaves. Considere la posibilidad de un lineales en derivadas parciales operador de orden $k$, que es un mapa \begin{align} L=\sum_{|\alpha|\leq k}\ell_\alpha\partial^\alpha:\Gamma(E)&\rightarrow\Gamma(F)\\ S&\mapsto L(S)=\sum_{|\alpha|\leq k}\ell_\alpha\partial^\alpha S. \end{align} Aquí $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_m)$ es un multi-índice y cada una de las $\ell_\alpha:E\rightarrow F$ es un paquete homomorphism. Ahora vamos a $\omega=\omega_i\text{d}x^i\in\Gamma(T^*M)$ ser un covector de campo ($1$- forma). El total de símbolo de una lineales en derivadas parciales operador $L$ en la dirección de la covector campo $\omega$ es el paquete de homomorphism: \begin{align} \sigma_L(\omega)=\sum_{|\alpha|\leq k}\omega^\alpha\ell_\alpha:E&\rightarrow F\\ e&\mapsto\sigma_L(\omega)e=\sum_{|\alpha|\leq k}\omega^\alpha\ell_\alpha e. \end{align} Aquí $\omega^\alpha=\omega_1^{\alpha_1}\cdots\omega_m^{\alpha_m}$. El principal símbolo , simplemente, toma la orden más alto parcial términos derivados del símbolo, y es el paquete de homomorphism: \begin{align} \hat{\sigma}_L(\omega)=\sum_{|\alpha|=k}\omega^\alpha\ell_\alpha:E&\rightarrow F\\ e&\mapsto\hat{\sigma}_L(\omega)e=\sum_{|\alpha|=k}\omega^\alpha\ell_\alpha e. \end{align} Por lo tanto, el principal símbolo de la captura de las propiedades de la diferencial parcial lineal operador que se celebró en la más alta orden en derivadas parciales términos. Un lineales en derivadas parciales operador elíptico si es principal símbolo es lineal en el espacio de isomorfismo para todos distintos de cero covector campos de $\omega\neq0\in\Gamma(T^*M)$.

Estas nociones también es válida para los no lineales en derivadas parciales de operadores entre espacios de secciones de vector de paquetes, por considerar que el operador de linealización. La linealización de una relación no lineal en derivadas parciales operador es lineal en derivadas parciales operador. El símbolo (principal símbolo) de una no lineales en derivadas parciales operador es el símbolo principal símbolo) de su linealización. No lineales en derivadas parciales operador elíptico si el principal símbolo de su linealización es un espacio lineal ismorphism para todos distintos de cero covector campos de $\omega\neq0\in\Gamma(T^*M)$.

Answer 2

El principio símbolo surgen naturalmente cuando usted toma la transformada de Fourier, donde el símbolo aparece en la parte superior de la orden multiplicador. Así que la elección de incluir la $i$ es indiferente, ya que, a continuación, $i^{m}$ es una constante. Lo importante es la propiedad de $\sigma(D)$ (como si es elípticas, hiperbólicas invertible, etc), y que no iba a ser cambiado por multiplicar una constante.

No tengo Spin geometría conmigo, pero creo que lo que usted escribió es incorrecta. Aquí el $\sigma(D)$ sólo debe incluir la parte superior el fin de plazo $|\alpha|=m$. Lo que usted escribió es la definición del símbolo en su lugar.