Es $\mathbb{Z}[G]$ integral $\mathbb{Z}$?

Question

Aquí $G$ es un grupo finito(pero no necesariamente abelian),entonces no es una declaración en algunos representación libro que $\mathbb{Z}[G]$ integral $\mathbb{Z}$.Es decir, cada elemento de a $\mathbb{Z}[G]$ satisface una monic ecuación polinómica con coeficientes en $\mathbb{Z}$.

Cómo conseguir este resultado?

He trabajado con el caso de $G=S_3$ y se encontró de hecho, es este caso, y sé que tiene también para el abelian caso trivial, pero no tengo idea de cómo conseguir el resultado general.

Podría alguien ser tan amable de darme algunos consejos sobre este?Muchas gracias!

Answer 1

Marc argumento no funciona como está escrito; la obvia mapa de $\mathbb{Z}[S_n] \to \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ no es inyectiva. De hecho, el último es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$-módulo de $n^2$ generadores mientras que el primero es un servicio gratuito de $\mathbb{Z}$-módulo de $n!$ generadores de...

Afortunadamente, hay una manera fácil. $\mathbb{Z}[G]$ actos fielmente en sí mismo por la izquierda de multiplicación ("del teorema de Cayley para los anillos"), y esta directamente define una inyección de $\mathbb{Z}[G] \to \mathcal{M}_{|G|}(\mathbb{Z})$.

Answer 2

Corregido en respuesta al comentario de @Qiaochu Yuan.

Incrustar $G$ en el grupo simétrico $S_n$ $n=\#G$ mediante el uso del teorema de Cayley (no tomar un atajo, si $G$ ya es una permutación de grupo), y el mapa del anillo de $\mathbf{Z}[S_n]$ homomorphically a la matriz de anillo de $M_n(\mathbf{Z})$ mediante el uso de matrices de permutación. Aunque el segundo mapa no es inyectiva, el compuesto mapa de $\mathbf{Z}[G]\to M_n(\mathbf{Z})$ es, como puede verse por buscar en la primera columna.

Ahora aplique el Cayley-Hamilton teorema.

Answer 3

El subconjunto $A$ $\Bbb Z[G]$ de los enteros de elementos sobre los $\Bbb Z$ es un sub-anillo.

Quiere mostrar que $A = \Bbb Z[G]$. Así es suficiente para demostrar que el (canónica) generadores de $\Bbb Z[G]$ son enteros sobre $\Bbb Z$. Este es trivial ya que todos ellos son la raíz de la unidad : para $g\in G$, $g^{|G|} = 1$.

Comentario - El determinante truco presentado en las otras respuestas es a menudo utilizado para demostrar que el subconjunto de elementos de entero es un sub-anillo.