Cómo demostrar que la diferenciabilidad implica continuidad con $\epsilon-\delta$ definición?

Question

Sé que es un teorema muy común en el cálculo, pero cuando intento demostrarlo con $\epsilon-\delta$ definición de continuidad, descubrí que no es tan evidente.

Intentos: Deja $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea una función diferenciable en el punto $a$ $\implies$ $\forall \epsilon>0, \exists \delta>0 \text{ s.t. } |\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)|<\epsilon$ para cualquier $|x-a|<\delta$ . Así que lo que queremos mostrar es $\forall \epsilon>0$ podemos encontrar un $\delta>0$ s.t. $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ para cualquier $|x-a|< \delta$ . En primer lugar, podemos aplicar la desigualdad triangular $|f(x)-f(a)|\le |f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|+|f'(a)(x-a)|<\epsilon+|f'(a)(x-a)|$ pero descubrí que $|f'(a)(x-a)|$ podría ser muy grande incluso $\epsilon$ puede ser cualquier número real. Gracias

Answer 1

Arreglar $\varepsilon > 0$ y $a$ .

A partir de la definición de diferenciación tenemos $$ \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right| < \varepsilon $$

para una elección adecuada de $\delta > 0$ .

Multiplica ambos lados por $|x - a|$ para conseguirlo: $$ \left|f(x) - f(a) - (x - a)f'(a)\right| < |x - a| \varepsilon $$

Utilizando $\left||x|-|y|\right| \le |x - y|$ que tenemos:

$$ \left|f(x) - f(a)\right| - |x - a| \cdot \left|f'(a)\right| < |x - a| \varepsilon $$

Reacciona para obtener: $$ \left|f(x) - f(a)\right| < (\left|f'(a)\right| + \varepsilon) \cdot |x - a| $$

Desde $f'(a)$ y $\varepsilon$ son ambos fijos, puede hacer $|f(x) - f(a)|$ tan pequeño como quieras haciendo $|x - a|$ cada vez más pequeños. Por lo tanto, la función es continua en $a$ .

Para demostrarlo formalmente, elija cualquier $\hat{\varepsilon}$ (diferente de $\varepsilon$ fijado al principio y utilizado con la definición de diferenciación). Seleccione $\hat{\delta} = \min\left(\delta, \frac{\hat{\varepsilon}}{\left|f'(a)\right| + \varepsilon}\right)$ . Claramente:

$$ |x - a| < \hat{\delta} \Rightarrow \left|f(x) - f(a)\right| < \hat{\varepsilon} $$

Answer 2

Quiere demostrar que $d(f(x),f(t))<\epsilon$ cuando $d(x,t)<\delta$ .

$\displaystyle\lim_{x\to t}f(x)-f(t)= \lim_{x\to t}\frac{f(x)-f(t)}{x-t}(x-t)=f'(t)\cdot0=0$ que es lo que queríamos mostrar.

Answer 3

No necesitas añadir mucho a tu propia prueba para rematarla. Has demostrado que, dado $\epsilon>0$ , puede encontrar $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(a)|<\epsilon+|f'(a)||x-a|$ siempre que $|x-a|<\delta.$ Esto significa que $|f(x)-f(a)|<\epsilon+|f'(a)|\delta$ siempre que $|x-a|<\delta$ .

Ahora, dado cualquier $\epsilon'>0$ . Queremos demostrar que existe $\delta'>0$ tal que $|f(x)-f(a)|<\epsilon'$ siempre que $|x-a|<\delta'.$ Si $f'(a)=0$ entonces, dejando $\epsilon=\epsilon',$ sabemos que hay un $\delta$ tal que $|f(x)-f(a)|<\epsilon'$ Así que tomamos $\delta'=\delta$ . De lo contrario, deja que $\epsilon=\frac{\epsilon'}{2}$ para que exista $\delta$ tal que $|f(x)-f(a)|<\frac{\epsilon'}{2}+|f'(a)|\delta$ . Si $\delta\le\frac{\epsilon'}{2|f'(a)|}$ entonces el lado derecho es menor o igual a $\epsilon'$ por lo que dejamos que $\delta'=\delta$ . De lo contrario, dejamos que $\delta'=\frac{\epsilon'}{2|f'(a)|}$ .