¿Cómo puedo evaluar esta integral impropia?

Question

Tengo un problema: evaluar $$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos(x)-\cos(2x)}{x}dx\,.$$ Me han dicho que esta integral no es elemental y por eso estoy atascado por dónde empezar. Gracias por ayudarme.

Answer 1

$$\int_a^{\infty}\frac{\cos(2x)}{x}dx = \int_{2a}^{\infty}\frac{\cos(x)}{x}dx$$ y así esta integral es igual a $$\lim_{a\downarrow 0}\int_a^{2a}\frac{\cos(x)}{x}dx$$ que se encuentra fácilmente para ser igual a $\log(2)$ utilizando las desigualdades $$1-\frac{x^2}{2}\leq\cos(x)\leq 1.$$

Answer 2

$$ \int_{0}^{\infty}\frac{\cos x-\cos 2x}{x}=\int_{0}^{\infty}(\mathscr L(\cos x)-\mathscr L(\cos 2x)) \\ =\int_{0}^{\infty}(\frac{s}{s^{2}+1}-\frac{s}{s^{2}+4})ds=\frac 12 \ln \left( \frac{s^{2}+1}{s^{2}+4}\right)_{0}^{\infty} =\ln 2 $$

Answer 3

Esta integral se puede escribir $$ \mathrm{Re}\left(\int_{0}^{\infty}\frac{e^{ix}-e^{2ix}}{x}\,dx\right) $$ Movemos el contorno de integración de manera que integramos a lo largo del eje imaginario positivo en lugar del eje real positivo (se puede comprobar que la integral decae lo suficientemente rápido en el infinito para que esto sea válido). Reescribiendo nuestra nueva integral con $x=it$ da $$ \int_0^\infty t^{-1}(e^{-t}-e^{-2t})\,dt $$ Si sustituimos el $t^{-1}$ con $t^{-1+\epsilon}$ para algunos $\epsilon>0$ el valor de la integral anterior es $\Gamma(\epsilon)(1-2^{-\epsilon})$ . Como $\epsilon\to 0$ , $\Gamma(\epsilon)\sim \frac{1}{\epsilon}$ por lo que el límite de la expresión anterior es $\log(2)$

Answer 4

Esto es un poco similar a la forma de @aliakbar pero en detalle. Deja que $f(x)=\cos(x)-\cos(2x)$ y evaluemos la siguiente integral: $$I(s)=\int_{0}^{\infty}\exp(-sx)\frac{f(x)}{x}~dx$$ Podemos ver fácilmente que $\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)}{x}=0$ y eso: $$\mathcal{L}\{\cos(x)-\cos(2x)\}=\frac{s}{s^2-1}-\frac{s}{s^2+4}$$ Además $$\int_0^{\infty}\frac{f(x)}{x}=\int_0^{\infty}F(s)~ds$$ donde $F(s)=\mathcal{L(f(x))}$ . Así que $I(s)=\mathcal{L\left(\frac{f(x)}{x}\right)}=\int_s^{\infty}\left(\frac{t}{t^2-1}-\frac{t}{t^2+4}\right)dt=...=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{s^2+4}{s^2+1}\right)$ . Ahora, establezca $s=0$ en la integral posterior. Es igual a $\ln(2)$ .

Answer 5

Tienes que utilizar el desarrollo limitado de cos(x) y cos(2x).