Hay no abelian grupos con la propiedad $|AB|=|BA|$?

Question

Respecto a la pregunta "¿hay alguna que no abelian grupo con la propiedad $AB=BA$?", ahora es importante para nosotros saber que:

(a) ¿hay alguna finito (resp. infinito) no abelian grupo de orden $\geq 8$ tal que $|AB|=|BA|$ para todos los subconjuntos de a $A, B$?

(b) Si la respuesta de (a) es positiva, entonces

• ¿hay alguna clase de grupos (p. ej., solucionable grupos, libre de grupos, CLT-grupos, etc.) con la propiedad?

• es cierto para todos los grupos con oreder $\leq 16$?

($AB=\{ab: a\in A, b\in B\}$, e $|.|$ indica el número cardinal)

Answer 1

Esta respuesta se completa una vez que uno apela a Derek de comentarios a continuación. (Editado después de ese comentario.)

Supongamos que hay dos elementos $b, x \in G$ tal que $b^{-1} x b \ne x, x^{-1}$.

Considere la posibilidad de $A = \{ 1, x^{-1} \}$, $B = \{ b, b x \}$.

A continuación, $A B = \{ b, b x, x^{-1} b, x^{-1} b x \}$ tiene cuatro elementos, mientras que $B A = \{ b, b x^{-1}, b x, b \}$ tiene tres.

Asume así que para todos los $b, x \in G$ tenemos $b^{-1} x b \in \{ x, x^{-1} \}$. A continuación, $G$ es Hamiltoniano.

Pero el grupo de cuaterniones $Q$ no satisface la asunción, como se muestra por Derek Holt en un comentario más abajo.