Cómo se supone que voy a saber que $\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty } \binom{n+1}{n}x^n$?

Question

Actualmente estoy leyendo a través de la solución a un problema que consiste en encontrar las funciones de generación. En algunas de las intermediario pasos, está escrito que

$$\frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty } \binom{n+1}{n}x^n$$

sin justificación alguna.

¿Hay algún tipo de razonamiento detrás de esto o es sólo una de esas cosas que tengo que aceptar?

Answer 1

No estoy del todo seguro de por qué decide escribir de esa manera.

$$G(x) = \frac{1}{1-x} = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$$

$$G'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty } \binom{n+1}{n}x^n$$

Este es un menor de edad a indexar, después de señalar que $$\binom{n+1}{n} = \binom{n+1}{1} = n+1$$

Parece haber sido escrito en una deliberadamente obtusa manera, aunque tal vez se facilita la aplicación de Pascal identidad o similar?

Answer 2

Tenga en cuenta que, en general, para $\alpha\in \mathbb{R}$ $$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} {\alpha \choose n}x^n$ $ por series de Taylor.

Answer 3

¿Sabe usted la fórmula $ \displaystyle \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$, $|x| < 1$?

Si usted diferenciar término a término y un nuevo índice que se obtiene la fórmula que usted está buscando.

Answer 4

Estas son algunas de las evaluaciones: $$ 1+x+x^2+\cdots+x^n=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}, \quad |x|<1. \tag1 $$ Then by differentiating $(1)$ de obtener $$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}=\frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^2}+\frac{-nx^{n}}{1-x}, \quad |x|<1, \tag2 $$ and by making $n \+\infty$ in $(2)$ using $|x|<1$, da

$$ 1+2x+3x^2+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\frac{1}{(1-x)^2} \tag3 $$ y observar que $$ \binom{n+1}{n}=n+1. $$

Answer 5

Tenemos

$$\frac{1}{(1 - x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1 - x} = \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{n = 0}^\infty \frac{d}{dx}x^n $$ $$= \sum_{n = 1}^\infty nx^{n-1} = \sum_{n = 0}^\infty (n+1)x^n = \sum_{n = 0}^\infty \binom{n+1}{n}x^n.$$