¿Es más fácil demostrar la diferenciabilidad que la continuidad?

Question

Ahora mismo estoy impartiendo un curso de cálculo multivariable y en los apuntes de clase el profesor dio a los alumnos el teorema que dice que la diferenciabilidad implica continuidad, así como otro teorema que dice que una función $F(x,y)$ es diferenciable en un punto $(a,b)$ si $\partial_x F$ y $\partial_y F$ existen y son continuas en $(a,b)$ . Estaba tratando de pensar en un ejemplo donde la continuidad de $F(x,y)$ no es obvio, pero la continuidad de las derivadas parciales es más aparente y no se ha encontrado nada.

Answer 1

Mi intuición es que ese ejemplo no es posible. Me explico. Decir $\partial_x F$ y $\partial_y F$ existen continuamente en $(a,b)$ es decir que $z=F(x,y)$ es un gráfico con un plano tangente bien definido en $(a,b,F(a,b)$ . En particular, la ecuación del plano tangente es: $$ z= F(a,b)+\partial_x F(a,b)(x-a)+\partial_y F(a,b)(y-b).$$ Este plano es la mejor aproximación afín de $z=F(x,y)$ cerca del punto de tangencia. Se deduce que la función se comporta bastante bien cerca del punto de tangencia, ya que este plano es la característica dominante de la gráfica lo suficientemente cerca de $(a,b,F(a,b))$ . Así que, para mí, la pregunta se replantea aproximadamente como: "¿puedo encontrar un plano en el que la continuidad del plano sea sutil en el punto base?" Creo que no.

Por otro lado, hay numerosos ejemplos en los que se parte de una función continua y de derivadas direccionales que existen en todo tipo de direcciones y sin embargo... la función no es continuamente diferenciable . Lo interesante es que la continuidad de las derivadas parciales es suficiente para reconstruir el plano tangente. Para mi gusto, esto es lo que puede sorprender a los estudiantes: las derivadas direccionales no son suficientes. Se necesitan derivadas direccionales que se asignen de forma continua cerca del punto de tangencia. Por supuesto, si apreciamos la dificultad de encontrar límites en el caso multivariante, entonces esta dificultad es familiar. Es el mismo problema que contacta con la definición de la diferencial en términos del límite de Frechet.