Límite con raíces

Question

Tengo que evaluar los siguientes límites:

$$ \lim_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^3+1}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+1}} . $$

Razoné, tanto en el numerador y el denominador de dos veces, y todavía no consiguió nada. También traté de cambio de variable y no funcionó.

Cualquier ayuda es agradecida. Gracias.

Answer 1

Desde enchufar $x=1$ da forma indeterminada $\frac{0}{0}$, tal vez trate de L'Hospital de la Regla?

Answer 2

Voy a calcular los límites del numerador y el denominador por separado. Para hacer esto más riguroso, imagino que los dos límites están llevando a cabo al mismo tiempo, así que la final de la división se justifica.

$\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^3+1} =\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-x+1}) $

así, poner a $x = 1+y$ y el uso de $\sqrt{1+z} \approx 1+z/2$ pequeña $z$,

$\begin{align} \lim_{x\to 1} \sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^3+1} &= \lim_{x\to 1}\sqrt{x+1}(1+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-x+1})\\ &= \lim_{y\to 0}\sqrt{y+2}(1+\sqrt{y}-\sqrt{1+2y+y^2-y-1+1})\\ &= \lim_{y\to 0}\sqrt{2}(1+\sqrt{y}-\sqrt{1+y+y^2})\\ &\approx \sqrt{2}(1+\sqrt{y}-(1+y/2))\\ &\approx \sqrt{2y} \end{align} $

Del mismo modo,

$\begin{align} \sqrt{x-1}+\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+1} &=\sqrt{y}+\sqrt{1+1+2y+y^2}-\sqrt{1+1+4y+6y^2+4y^2+y^4}\\ &=\sqrt{y}+\sqrt{2}(\sqrt{1+y+y^2/2}-\sqrt{1+2y+3y^2+2y^3+y^4/2})\\ &\approx \sqrt{y}+\sqrt{2}((1+y/2)-(1+y))\\ &= \sqrt{y}+\sqrt{2}(-y/2)\\ \end{align} $

así $\lim_{x\to 1} \sqrt{x-1}+\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+1} = \lim_{y\to 0} \sqrt{y}+\sqrt{2}(-y/2) = \lim_{y\to 0} \sqrt{y} $.

La relación de estos dos es así $ \lim_{y\to 0} \frac{ \sqrt{2y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{2}$

Answer 3

Para cada $x>1$ hemos \begin{eqnarray} P(x):&=&\sqrt{x+1}+\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x^3+1}=\sqrt{x^2-1}+\frac{x+1-(x^3+1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^3+1}}\\ &=&\sqrt{x^2-1}-\frac{x(x^2-1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^3+1}}=\sqrt{x^2-1}\left(1-\frac{x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^3+1}}\right)\\ &=&\sqrt{x-1}p(x), \end{eqnarray} con $$ p(x):=\sqrt{x+1}\left(1-\frac{x\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^3+1}}\right). $$ Del mismo modo para cada $x>1$ hemos \begin{eqnarray} Q(x):&=&\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^4+1}=\sqrt{x-1}+\frac{x^2+1-(x^4+1)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4+1}}\\ &=&\sqrt{x-1}+\frac{x^2(1-x^2)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4+1}}=\sqrt{x-1}\underbrace{\left(1-\frac{x^2(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4+1}}\right)}_{q(x)}. \end{eqnarray} De ello se sigue que $$ \lim_{x \to 1^+}\frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to 1^+}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(1)}{q(1)}=\sqrt{2}. $$

Answer 4

A la facilidad de escribir, nos temporalmente manipular la parte superior e inferior por separado.

La parte superior es $\sqrt{(x-1)(x+1)}+\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x^3+1}\right)$ (hemos cambiado el orden). "Racionalizar" la parte entre paréntesis. La parte superior se convierte en $$\sqrt{(x-1)(x+1)}-\frac{x(x-1)(x+1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^3+1}}.\tag{1}$$

Hacer lo mismo que la racionalización de truco con los dos últimos términos de la parte inferior. Tenemos $$\sqrt{x-1}-\frac{x^2(x+1)(x-1)}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4+1}}.\tag{2}$$ Dividir las expresiones (1) y (2) por $\sqrt{x-1}$. Conseguimos que nuestros original proporción es igual a la $$ \frac{\sqrt{x+1}-\frac{x(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x^3+1}}}{1-\frac{x^2(x+1)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^4+1}}} .\tag{3}$$

Por último, vamos a $x\to 1^+$. El desordenado términos en la parte superior e inferior de (3) enfoque de $0$ debido a los sobrevivientes del factor de $\sqrt{x-1}$. Así que el límite requerido como $x$ enfoques $1$ desde el de la derecha es $\sqrt{2}$.

Answer 5

Te sugiero que para hacer la sustitución de $t = x - 1$. Después de que usted obtendrá $\lim_{t \rightarrow 0 \dots}$. Y el siguiente uso asintótica $(1 + x)^p = 1 + px + O(x^2)$$x \rightarrow 0$. Si es necesario, puede utilizar más precisa expresión manteniendo a más miembros en serie de taylor para $(1+x)^p$.