Supongamos $X$ es simplemente conectado subconjunto cerrado de $\mathbb R^2$. Deje $a,b$ pertenecen a $X$. Es cierto que existe en la mayoría de una curva dentro de $X$ $a$ $b$de manera tal que la longitud de la curva es mínima?
Respuesta
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La respuesta es sí. La idea se resume en la respuesta anterior. La rigurosa prueba se realiza ahora.
Supongamos que, al contrario, hay dos puntos de $a, b\in X$ y dos curvas de $\gamma_i :[0,1] \to X$ unirse a $a$$b$. Deje $\gamma_i :[0,1] \to X$.
Afirman que uno: podemos WLOG asumir que las dos curvas no se cruzan.
Prueba: Consideremos el conjunto $$ \gamma_1^{-1} \big( \gamma_2[0,1]\big) \subset [0,1]\ .$$ Este es un conjunto cerrado en $[0,1]$. Suponemos que este juego no es toda la $[0,1]$ (o la imagen de $\gamma_1$ se encuentra completamente en $\gamma_2$). Por lo tanto el complemento es abierto y contiene un intervalo abierto $(t_1, t_2)$. Restringimos $\gamma_1$$[t_1, t_2]$, (y también restringir el dominio de $\gamma_2$ a la parte que se conecta $\gamma_1(t_1)$$\gamma_1(t_2)$).
Llamar a las restricciones de $\alpha_1$ $\alpha_2$ y cambiar el nombre de $a = \gamma_1(t_1)$$b = \gamma_1(t_2)$. Tenga en cuenta que estas dos curvas son todavía longitud de minimizar (Si no, entonces hay una senderos más cortos unir estos dos puntos, lo que significa que la curva original $\gamma_i$ no son también de la longitud de minimización).
Como resultado, nos encontramos con dos puntos de $a, b\in X$ conectados por dos no de intersección de la longitud de la minimización de las curvas. Por lo tanto afirman que uno es probado.
Ahora el círculo se $C$ formado por ir primero a lo largo de $\gamma_1$ y, a continuación, $\gamma_2$ es una curva cerrada simple. Por lo tanto el Jordán teorema de la curva de los estados que $\gamma_1 \cup \gamma_2$ límites de un conjunto abierto acotado $\Omega$ tal que $\partial \Omega = \gamma_1 \cup \gamma_2$.
Reclamación dos: $\Omega \subset X$.
Prueba: Supongamos que, al contrario, hay un punto de $x\in \Omega$ tal que $x\notin X$. Por la traducción asumimos $x=0$ Consideran que la inclusión mapa
$$\iota : X \to \mathbb R^2 \setminus \{0\}$$
Ahora como $0 \in \Omega$ $\Omega$ está delimitado por $C$. Así que cualquier rayo de partida en $0$ llegará a algunos puntos en $C$. Esto implica que $\iota_*[C]$ representa un elemento no trivial en $\pi_1(\mathbb R^2 \setminus \{0\})$. Pero esto es imposible como $X$ es de $\iota_*[C]=0$. Esta contradicción implica que $x\in X$. Por lo tanto $\Omega \subset X$.
Ahora lo que queda es elemental de la geometría.
En primer lugar, por algunos de rotación de suponer que $a, b$ $y$- eje. Deje $L$ ser una línea paralela a la $y$-eje que toques $\bar \Omega$ $c$ e no $a, b$ ($c$ se puede encontrar: Vamos a $L$ viene de la izquierda de $-\infty$, si toca en $a, b$, en lugar deje $L$ viene de la derecha para encontrar $c$) WLOG asumen $c$$\gamma_1$.
Deje $B$ ser una pequeña bola cerrada alrededor de $c$ que no contenga $\gamma_2$. Mueve la línea de $L$ hacia $\Omega$ un poco para formar la línea de $L'$. Considere la posibilidad de un componente conneced $$J \subset L' \cap \bar\Omega \cap B$$ $J$ es un segmento de línea en $\Omega$ de manera tal que el límite de puntos en $\gamma_1$ ($B$ no contiene $\gamma_2$). Por lo tanto $\gamma_1$ no puede ser de longitud minimizando, en la medida que el segmento de la línea de $J$ es la longitud de la minimización. Este contradicciones que implica que no puede haber más de una longitud de minimizar las curvas de unión de dos puntos.
Sólo tenga en cuenta que incluso para una ruta de acceso conectado subconjunto cerrado en $\mathbb R^2$ no pudo ser cualquier curva de longitud finita que une dos puntos.
