Si $n$ es un número natural impar, entonces $8$ divide $n^{2}-1$

Question

Estoy tratando de demostrar que si $n$ es un número natural impar, entonces $8$ divide $n^{2}-1.$ Pude comprobarlo porque sé que si $n$ es un número natural impar, entonces $n^{2}$ puede escribirse como $8k+1$ para algunos $k\in \mathbb{N}.$ Me gustaría demostrar esta cuestión utilizando la división euclidiana. Entonces escribí $n^{2}-1=8k+r$ , donde $0\leq r < 8.$ Cuando $r=2$ obtenemos $n^{2}-1=8k+2.$ Desde $n$ es impar, entonces $n^{2}-1$ es uniforme y me he quedado atascado. ¿Hay alguna forma de solucionarlo?

Answer 1

Una forma más fácil de ver esto es la siguiente: $n^2-1=(n-1)(n+1)$ donde ambos $n-1$ y $n+1$ son pares, y uno de ellos debe ser divisible por 4.

Answer 2

Ser impar significa que $n=2m+1$ para algunos $m$ . Esto da

$$n^2-1=(2m+1)^2-1=(4m^2+4m+1)-1=4m^2+4m=4m(m+1).$$

Obsérvese que, o bien $m$ es par o $m$ es impar: de cualquier manera, $m(m+1)$ es par, por lo que se puede escribir como $2k$ ...

Answer 3

Aquí están $8$ pruebas $\pm1.\ $ Primero: $\bmod 8\!:\ {\rm odd}^2 \equiv \{1,\,3,\!\overbrace{5,\,7}^{\large -3,\ -1}\!\!\}^{\large 2}\equiv \{\pm1,\:\!\pm3\}^{\large 2} \equiv 1 $

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Alternativamente, $\ \ \rm n\ odd\ \Rightarrow\ n = 4k\pm1\ \Rightarrow\ n^2-1 = (4k\pm1)^2-1 = 8k \:\!(2k\pm1)$

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O: $\rm\: n\equiv u = \pm1\pmod 4\:\Rightarrow\: 4\:|\:n\!-\!u,\:2\:|\:n\!+\!u\:\Rightarrow\: 8\:|\:(n\!-\!u)(n\!+\!u) = n^2 - 1$

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O, es fácil por inducción: es cierto para $\rm\:n = 1,\:$ y si es cierto para todas las probabilidades por debajo del impar $\rm\:n\!+\!2\:$ entonces $\rm\:(n\!+\!2)^2\!-1\: =\: n^2\!-\!1 + 4\:\!(n\!+\!1).\:$ Pero $\rm\:8\:|\:n^2\!-\!1\:$ por inducción, $\rm\:8\:|\:4(n\!+\!1)\:$ por $\rm\:n\:$ impar.

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O, fíjate que $\rm\:mod\ 8,\:$ la función $\rm\:f(n) = (2n\!-\!1)^2\:$ es constante (por lo tanto $\rm\:f(n)\equiv f(1)\equiv 1)$ porque su primera diferencia es $\equiv 0,\:$ es decir $\rm\:f(n\!+\!1)-f(n) = (2n\!+\!1)^2-(2n\!-\!1)^2\! = 8n\equiv 0.$

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Por telescopio la prueba anterior produce la representación de la suma a continuación, y una prueba vívida.

$$\rm\quad (2n+1)^2 - 1\: =\: \sum_{k\!\:=\!\:1}^n\!\: 8k$$

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En general, es el caso especial $\rm\:m = 8,\:\lambda(8)=2\:$ de la Teorema de Euler-Carmichael $$\rm\ gcd(a,m) = 1\ \Rightarrow\ a^{\lambda(m)}\equiv 1\pmod{m}$$

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Answer 4

Desde $n$ es impar, $n^2-1 = (n-1)(n+1)$ es el producto de dos números pares consecutivos, uno de los cuales debe ser divisible por 4.

Answer 5

Si queremos utilizar explícitamente la división euclidiana, podemos observar que si $n$ es un número impar, entonces el resto cuando $n$ se divide por $8$ es igual a $1$ , $3$ , $5$ o $7$ .

Si el resto es $1$ entonces $n=8k+1$ para algún número entero $k$ . De ello se desprende que $n^2-1=(8k+1)^2-1^2=(8k)(8k+2)$ . Tenga en cuenta que $(8k)(8k+2)$ es divisible por $8$ y, de hecho, por $16$ .

Si el resto es $3$ entonces $n=8k+3$ para algún número entero $k$ . Entonces $n^2-1^2=(8k+2)(8k+4)$ y $(8k+2)(8k+4)$ es claramente divisible por $8$ .

Podemos utilizar argumentos similares para las otras dos posibilidades. Es un poco más agradable observar que si el resto cuando $n$ se divide por $8$ es $5$ entonces $n=8k-3$ para algún número entero $k$ . Además, si el resto es $7$ entonces $n=8k-1$ para algún número entero $k$ . Entonces podemos reciclar esencialmente los dos primeros cálculos.