Un Noetherian anillo con Krull de dimensión uno, que no es un dominio de Dedekind

Question

Alguien puede darme, con la prueba, un ejemplo de un Noetherian anillo, que Krull de dimensión uno, pero no es un dominio de Dedekind?

Creo que también sería interesante ver a otros "near misses."

Answer 1

El anillo de $\mathbb{Z}[2i]$ es un ejemplo. Satisface todas las propiedades de un dominio de Dedekind, excepto que no es integralmente cerrado. (Para ver que se satisface estas propiedades, tenga en cuenta que es integral sobre la $\mathbb{Z}$, por lo que la dimensión de Krull es uno, como parte integral de las extensiones de preservar dimensión. También es claramente noetherian.)

Answer 2

El anillo de $R_1 = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ da un contraejemplo a su reclamación (que no es un dominio). Sin embargo $\operatorname{Spec}(R_1)$ es un Dedekind esquema, por lo que este es un poco turístico contraejemplo. El contraejemplo $R_2 = \mathbb{Z}[t]/(t^2)$ es más grave.

Answer 3

Si por "otros accidentes", que significa que otros anillos que satisfacer dos de las tres condiciones para ser un dominio de Dedekind, otro anillo k[x, y], que es Noetherian (por Hilbert teorema de la base), integralmente cerrado (es un UFD, y Ufd están integralmente cerrado) pero no todo el primer ideal es máxima (por ejemplo, (x)).