Yo soy de la enseñanza de una teoría de la medida de la clase, donde estamos en el proceso de construcción de medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ a través de la costumbre Caratheodory exterior de la medida de la construcción.
Como la motivación, se comenzó con la construcción de un conjunto de Vitali $V \subset [0,1)$ que tiene la propiedad de que $\bigcup_{q \in \mathbb{Q} \cap [0,1)} V \oplus q = [0,1)$ donde $\oplus$ es la costumbre ", además mod 1", y los conjuntos de $V \oplus q$ son pares distintos. Esto nos llevó a la conclusión de que la medida de Lebesgue no se puede medir cada conjunto; es decir, no hay ninguna medida definida en todos los conjuntos que se countably aditivo, la traducción de todos los idiomas, y ha $m([0,1)) = 1$.
También hemos construido Lebesgue exterior de medida $m^*$ en la forma habitual, mediante la definición de $m^*(A) = \inf\left\{\sum_{i} b_i - a_i : A \subseteq \bigcup_i [a_i, b_i]\right\}$, y demostró que es countably subadditive, la traducción de todos los idiomas, y que $m^*([a,b]) = b-a$.
Ahora el típico siguiente paso es definir un conjunto $E$ ser medible si para cada a $A \subset \mathbb{R}$ tenemos $m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)$. Por supuesto, vamos a demostrar que cuando se $m^*$ está restringido a los conjuntos medibles, es countably aditivo. A continuación, siga, indirectamente, que el conjunto de Vitali $V$ no han sido medibles.
Pero ya que este es un gran trabajo, me gustaría empezar por probar directamente que $V$ no es mensurable, es decir, encontrar un conjunto $A$ tal que $m^*(A) < m^*(A \cap V) + m^*(A \cap V^c)$. Esto debería ayudar a motivar a la definición de "medibles".
Presumo $A = [0,1)$ debe trabajar, por lo que debemos tratar de demostrar $1 < m^*(V) + m^*([0,1) \setminus V)$. Por supuesto, es claro contables subadditivity que debemos tener $m^*(V) > 0$$m^*([0,1) \setminus V) > 0$. Pero no la puedo ver de inmediato cómo probar que la suma exceda de 1.
Así que, en resumen:
Hay una prueba simple que $m^*(V) + m^*([0,1) \setminus V) > 1$, sólo el uso de las propiedades básicas de exterior de medida $m^*$, y, en particular, no utilizando los contables aditividad de la medida de Lebesgue?
También vi Exterior de la Medida del complemento de un Conjunto de Vitali en [0,1] es igual a 1. Es difícil seguir sin el libro de texto en cuestión, pero parece que usa el hecho de que abrir los conjuntos son medibles, y que $m^*(A) = \inf\{m^*(U) : A \subset U, U \text{ open}\}$. De nuevo, me gustaría evitar que, si es posible.
