Encontrar el valor de $a+b+c$

Question

Si $$3.\sqrt{5.\sqrt[3]{37}-16}=\sqrt[3]a-\sqrt[3]b-c$$
¿Cuál es el valor de $a+b+c$?
EDIT: se me olvidó mencionar que $a$, $b$ y $c$ son enteros positivos.

He intentado cuadrar y, a continuación, cubicación, pero lo tengo muy largo. Hay algunas elegante método para hacerlo?

Answer 1

Deje $\theta=\sqrt[3]{37}$. Si ponemos $\alpha=\theta^2-2\theta-2 \approx 2.4$, luego

$$ \begin{array}{lcl} \alpha^2 &=& (\theta^2-2\theta-2)^2 \\ &=& \theta^4 - 4 \theta^3 + 8 \theta + 4 \\ &=& 37\theta -4\times 37+8\theta+4 \\ &=& 45\theta -144 \\ &=& 9(5\theta-16) \end{array} $$

De ello se desprende que $3\sqrt{5\theta-16}=\alpha$, por lo que $a=37^2,b=8\times 37,c=2$, y, por tanto,$a+b+c=1667$.