Abra las cubiertas de un espacio topológico $X$

Question

Una cubierta abierta $\mathcal U$ a de un espacio topológico $X$, se llama

1. Una $\omega$-cubierta, si cada subconjunto finito de $X$, está contenida en un miembro de $\mathcal U$.

2. Un $\gamma$-cubierta si es infinito y cada una de las $x \in X$ pertenece a todos, pero un número finito de elementos de $\mathcal U$.

Puede anyoone pensar en una contables $\gamma$-cubierta, lo que no es una $\omega$-portada para algunos topológico de Hausdorff espacio de $X$?

Gracias!

Answer 1

No hay ejemplo de que existe.

Asumir que hubo una contables $\gamma$-cubierta que no es un $\omega$a cubrir. A continuación, hay algunas conjunto finito $a_1, \ldots, a_n$ no incluido en cualquiera de los miembros de la cubierta.

Por la propiedad de una $\gamma$-cubierta, hay sólo un número finito (es decir $N_1$), establece en la cubierta que no contengan $a_1$, e $N_2$ establece que no contengan $a_2$, etc. Entonces no puede ser atmost $\sum_{i=1}^n N_i$ define en la cubierta que se pierda al menos uno de los $a_i$. Pero, como hay countably muchos conjuntos en la cubierta, entonces tiene que ser un conjunto que contiene todos los $a_i$, contradiciendo así a la asunción de nuestra portada fueron no $\omega$a cubrir.