Estoy teniendo problemas con un problema específico en realidad. Tengo una función $$f(z) = \frac{1}{z\cdot \sin{z}}$$
Ahora quiero encontrar los residuos de esto. La serie de Laurent se expandió alrededor de $0$ muestra que $0$ es un polo de orden $2$ . La expansión se parece a esto $$\frac{1}{z^2}+\frac{1}{6} + \frac{7z^2}{360} + \cdots $$
por lo que como el primer coeficiente de $z$ es sólo cero, el residuo de esta función es $0$ .
PERO quiero saber por qué el cero es el único polo. Claramente $2\pi$ es un punto de singularidad. Entonces cuando se expande sobre $2\pi$ se obtiene la siguiente expansión $$\frac{1}{2\pi (z - 2\pi)} - \frac{1}{4\pi^2} + \frac{(3+2\pi^2)(z-2\pi)}{24\pi^3} + \cdots $$
De nuevo, me parece que la primera potencia negativa de $z$ tiene el coeficiente $\frac{1}{2\pi}$ .
Entonces, ¿por qué cuando escribo "polos de la función 1/(z*sin(z))" wolfram sólo identifica el 0 como polo? Si escribo "polos de la función 1/(sin(z))" identifica los polos como $n\pi$ . Además, si escribes "residuos de 1/(z*sin(z))" sólo identifica el 0 como residuo cuando acabamos de ver que $\frac{1}{2\pi}$ también es un residuo. Lo que es aún más extraño es que si escribes "residuos de 1/(z*sin(z)) a 2pi" da el residuo correcto. Es raro.
