por qué $\frac{1}{z\cdot \sin{z}} $ sólo tienen polo cuando claramente su indefinido en $n\pi$

Question

Estoy teniendo problemas con un problema específico en realidad. Tengo una función $$f(z) = \frac{1}{z\cdot \sin{z}}$$

Ahora quiero encontrar los residuos de esto. La serie de Laurent se expandió alrededor de $0$ muestra que $0$ es un polo de orden $2$ . La expansión se parece a esto $$\frac{1}{z^2}+\frac{1}{6} + \frac{7z^2}{360} + \cdots $$

por lo que como el primer coeficiente de $z$ es sólo cero, el residuo de esta función es $0$ .

PERO quiero saber por qué el cero es el único polo. Claramente $2\pi$ es un punto de singularidad. Entonces cuando se expande sobre $2\pi$ se obtiene la siguiente expansión $$\frac{1}{2\pi (z - 2\pi)} - \frac{1}{4\pi^2} + \frac{(3+2\pi^2)(z-2\pi)}{24\pi^3} + \cdots $$

De nuevo, me parece que la primera potencia negativa de $z$ tiene el coeficiente $\frac{1}{2\pi}$ .

Entonces, ¿por qué cuando escribo "polos de la función 1/(z*sin(z))" wolfram sólo identifica el 0 como polo? Si escribo "polos de la función 1/(sin(z))" identifica los polos como $n\pi$ . Además, si escribes "residuos de 1/(z*sin(z))" sólo identifica el 0 como residuo cuando acabamos de ver que $\frac{1}{2\pi}$ también es un residuo. Lo que es aún más extraño es que si escribes "residuos de 1/(z*sin(z)) a 2pi" da el residuo correcto. Es raro.

Answer 1

En lugar de ampliar la función $f(z)$ alrededor del punto $z=2\pi$ , vamos a reordenar $f(z)$ en lugar de ello, observando la expansión en serie de Taylor de $\sin(z)$

$$ f(z) = \frac{1}{(z)(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5}+\cdots)}$$ $$= \frac{1}{(z^2)(1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5}+\cdots)}$$ $$ f(z) = \frac{1}{(z^2)}\left(1+\left(\frac{z^2}{3!}-\frac{z^4}{5!}+\cdots\right)+\left(\frac{z^2}{3!}-\frac{z^4}{5!}+\cdots\right)^2+\cdots\right)$$ $$ f(z) = \left(\frac{1}{z^2} + \frac{1}{z}\right) \left(1+\frac{z^2}{3!}+\cdot\right) = \frac{1}{z^2}+\frac{1}{z}+\cdots $$

En lugar de expandirse en (lo que parece) un punto indefinido, una rápida alteración de la serie nos da una "imagen" diferente de esta función.

Answer 2

Multiplica la función por z arriba y abajo:

$f(z)= \frac{z}{z^2⋅\sin z} = \frac{1}{z^2} \frac{ z }{ \sin z}$

Ahora, el segundo factor es una función regular sin polos. Queda sólo el factor de enfrente que es:

$\frac{1}{z^2}$

Una función con un solo polo de orden dos, como se esperaba.