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por qué 1zsinz sólo tienen polo cuando claramente su indefinido en nπ

Estoy teniendo problemas con un problema específico en realidad. Tengo una función f(z)=1zsinz

Ahora quiero encontrar los residuos de esto. La serie de Laurent se expandió alrededor de 0 muestra que 0 es un polo de orden 2 . La expansión se parece a esto 1z2+16+7z2360+

por lo que como el primer coeficiente de z es sólo cero, el residuo de esta función es 0 .

PERO quiero saber por qué el cero es el único polo. Claramente 2π es un punto de singularidad. Entonces cuando se expande sobre 2π se obtiene la siguiente expansión 12π(z2π)14π2+(3+2π2)(z2π)24π3+

De nuevo, me parece que la primera potencia negativa de z tiene el coeficiente 12π .

Entonces, ¿por qué cuando escribo "polos de la función 1/(z*sin(z))" wolfram sólo identifica el 0 como polo? Si escribo "polos de la función 1/(sin(z))" identifica los polos como nπ . Además, si escribes "residuos de 1/(z*sin(z))" sólo identifica el 0 como residuo cuando acabamos de ver que 12π también es un residuo. Lo que es aún más extraño es que si escribes "residuos de 1/(z*sin(z)) a 2pi" da el residuo correcto. Es raro.

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Timo Geusch Puntos 16952

En lugar de ampliar la función f(z) alrededor del punto z=2π , vamos a reordenar f(z) en lugar de ello, observando la expansión en serie de Taylor de sin(z)

f(z)=1(z)(zz33!+z55+) =1(z2)(1z23!+z45+) f(z)=1(z2)(1+(z23!z45!+)+(z23!z45!+)2+) f(z)=(1z2+1z)(1+z23!+)=1z2+1z+

En lugar de expandirse en (lo que parece) un punto indefinido, una rápida alteración de la serie nos da una "imagen" diferente de esta función.

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Olexiy Puntos 894

Multiplica la función por z arriba y abajo:

f(z)=zz2sinz=1z2zsinz

Ahora, el segundo factor es una función regular sin polos. Queda sólo el factor de enfrente que es:

1z2

Una función con un solo polo de orden dos, como se esperaba.

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