Cuánto càdlàg (es decir, a la derecha-continuo con la izquierda límites) función puede saltar?

Question

He cambiado el título (sustituido por "buen comportamiento" por "càdlàg"), ya que parece ser que "un buen comportamiento de la función" podría interpretarse como "una función de variación acotada" (en lugar de "un càdlàg función", que en realidad quiso decir).

Deje $f:[0,1] \to {\bf R}$ tienen una propiedad siguiente: $f$ es continua salvo en los puntos $x_{k,n} = \frac{{2k - 1}}{{2^n }}$, $k=1,\ldots,2^{n-1}$, $n=1,2,3,\ldots$, donde $\lim _{x \downarrow x_{k,n} } f(x) = f(x_{k,n} )$ sino $f(x_{k,n} ) - \lim _{x \uparrow x_{k,n} } f(x) = a_n > 0$. Can such a function exist if $a_n > 1/ \log(n)$ for all sufficiently large $$n?

Answer 1

Si $f\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ es cadlag (continu à droite, limites à gauche) entonces podemos preguntar cuáles son los posibles saltos. Que es, por lo que las funciones de $g\colon(0,1]\to\mathbb{R}$ hay un cadlag función de $f$$g(x)=\Delta f(x)\equiv f(x)-f(x-)$?

La respuesta es que $g$ se produce como los saltos de un cadlag función si y sólo si el conjunto de $\{x\in(0,1]\colon\vert g(x)\vert > \epsilon\}$ es finito para cada una de las $\epsilon > 0$. En particular, hay una cadlag función con saltos como los que usted describe.

En primer lugar, la necesidad: Si $S=\{x\in(0,1]\colon\vert g(x)\vert > \epsilon\}$ no finita, entonces podría contener una estrictamente creciente o estrictamente decreciente secuencia $x_n$. A continuación, $\vert f(x_n)-f(y_n)\vert > \epsilon$ algunos $y_n$ elegido arbitrariamente cerca de $x_n$. La sustitución de $x_n$ $y_n$ cuando sea necesario da una estrictamente creciente o estrictamente decreciente secuencia $x_n\in[0,1]$ tal que $\vert f(x_{n+1})-f(x_n)\vert > \epsilon/2$. Sin embargo, como f es cadlag y tiene a la izquierda y a la derecha de los límites en todas partes, esto se contradice con el requisito de que $f(x_n)$ tiende a un límite.

Ahora, podemos demostrar suficiencia: Set$\epsilon_n=2^{-n}$$n\ge1$$\epsilon_0=\infty$. Para cada una de las $n\ge1$, considerar el conjunto finito $S_n=\{x\in(0,1]\colon \epsilon_{n-1}\ge\vert g(x)\vert > \epsilon_n\}$. Se puede construir una función de $f_n\colon[0,1]\to\mathbb{R}$ tal que $\Delta f_n(x)=1_{\{x\in S_n\}}g(x)$$\vert f_n(x)\vert\le\epsilon_{n-1}$. La idea es tomar el $f_n(x)=g(x)$ $f_n(x-)=0$ de los puntos en $S_n$, e interpolar linealmente entre estos. Más precisamente, si $S_n$ está vacía establecemos $f_n=0$. De lo contrario, $$f_n(x)= g(a)(b-x)/(b-a)$$ para $a\le x < b$. Aquí, $a < b$ son los puntos consecutivos de $S_n$. También se establece $f_n(x)=0$ $x$ menos que el mínimo de $S_n$$f_n(x)=g(c)$$x\ge c=\max S_n$. Esto de los saltos $\Delta f_n(x)=1_{\{x\in S_n\}}g(x)$.

Por último set $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$. Como $\vert f_n\vert \le 2^{1-n}$ $n\ge 2$ esto converge uniformemente y, $$\Delta f(x)=\sum_n\Delta f_n(x)=\sum_n1_{\{x\in S_n\}}g(x)=g(x).$$