Isomorfismo de dos sumas directa

Question

Así que, básicamente, tienen que probar el siguiente. Si $a,b\in R$ no-cero, con $R$ un PID. Entonces, queremos mostrar $$R/aR\oplus R/bR\cong R/cR\oplus R/dR$$Where $c$ is the least commond multiple of $$ and $b$, and $d$ is the greatest common divisor of $$ and $b$.

Aquí está mi prueba: Desde $R$ es un PID es también una unidad flash usb, así que vamos a $$a=u_1p_1^{\alpha_1}...p_n^{\alpha_n}$$$$b=u_2p_1^{\beta_1}...p_n^{\beta_n}$$where $u_i$ are units, and some of the $\alpha$'s or $\beta$'s podría ser cero, pero está escrito de esta manera para una posterior venga bien.

Por el teorema del resto chino tenemos que $R/aR\cong R/p_1^{\alpha_1}R\oplus...\oplus R/p_n^{\alpha_n}R$. Yo hago lo mismo con $R/bR$, y luego tengo que $$R/aR\oplus R/bR\cong R/p_1^{\alpha_1}R\oplus...\oplus R/p_n^{\alpha_n}R\oplus R/p_1^{\beta_1}R\oplus...\oplus R/p_n^{\beta_n}R$$Then for a given if $\alpha_i<\beta_i$, then I interchange the summands of $R/p_i^{\alpha_i}R$ and $R/p_i^{\beta_i}R$. Yo, básicamente, escribir los altos exponentes en la parte delantera y la baja de los exponentes en la parte de atrás. La combinación de la baja de los exponentes proporciona el gcd, y la combinación de los altos exponentes de los rendimientos de la lcm.

Me preguntaba si hay una forma más fácil (que probablemente no se, estoy un poco cansado) que da una explícita mapa.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia $\ $ La identidad de Bezout $\rm\: ad+bc\:\! =\:\! g\:$ los rendimientos de los siguientes Smith forma normalde reducción de $$\left[\begin{array}{cc}\rm a & \!\!\!0\\0 &\rm \!\!\!b\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{cc} \rm a &\rm \!\!\!b\\0 &\rm\!\!\! b\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cc} \rm a &\rm\!\!\! b\\0 &\rm\!\!\! b\end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} \rm d &\rm \!\!\!\smash{-\!b/g} \\ \rm c &\rm a/g\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \rm g &\rm 0\\ \rm bc &\rm \!\!\!ab/g\end{array}\right] \sim \left[\begin{array}{cc} \rm g &\rm 0\\ 0 &\rm \!\!ab/g\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} \rm \!gcd(a,b) &\rm 0\\0 &\rm \!\!\!\!\!\!\!\smash{lcm(a,b)}\!\end{array}\right] $$

Answer 2

Estoy bastante seguro de que su prueba es óptimo. En cualquier caso creo que es una bonita prueba usted debe estar satisfecho!